* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

260 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ пяти и вообще любому числу сомножителей. Таким образом, мы можем считать установленным следующее общее предложение, которое и было целью всех предшествующих рассуждений: Т е о р е м а 3. Если произведение нескольких чисел делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р. Теорема 3 позволяет уже легко установить единственность разложения любого натурального числа (кроме 1) на простые множители. В самом деле, пусть мы имеем: n =PiP% • • • Рг = Я\Я* - Я** () 2 где все p и все qj— простые числа; требуется доказать, что числа Я и Яъ> ••• » Я* порядком расположения могут отличаться от чисел р /? , . . . , р . Другими словами, если предположить, что как числа p так и числа q расположены в порядке возрастания (т. е. р ^ рх =^ ... =^ р q q ^ ... ^ q ), т о требуется просто доказать, что r=s и p = q.{l ^ i ^ r ) . Именно так мы и по­ ступим. Докажем сначала, что p = q . В самом деле, пусть, например, qt^>Pv В силу равенства (2) произведение Я\Яъ---Я делится на р ; поэтому в силу теоремы 3 по меньшей мере одно из чисел q делится на р ; но все q — простые числа, а потому то из них, которое делится на р должно просто совпадать с р ; это же не­ возможно, так как согласно нашему предположению g Л И Ш ь и 2 г it s х п x 2 s t x x 8 х f х f и х Итак, p = q ; но тогда соотношение (2) даёт: x x Р2Рв-~Рг=ЯъЯъ-"Я5Очевидно, отсюда мы можем, в точности повторяя только что про­ ведённое рассуждение, доказать, что Pi = q£ это же даёт: Р*Р1"-Рг =Я*Я&--*Яи> откуда /> = 4э и т. д. Этот процесс мы можем продолжать до тех пор, покуда и налево, и направо у нас ещё сохраняются простые множители; он обрывается, как только тут или там простые мно­ жители исчерпаны; но очевидно, что это должно наступить налево и направо одновременно, т. е. что мы должны иметь r = s . В самом деле, если бы, например, мы имели r<^s, то согласно вышесказан­ ному доказали бы, что p = q\> р*=Я» > Р Яг» сокращений получили бы: 8 = и п о с л е x г 1 : = Яг+г Яг+* ••• Я*> что очевидным образом неверно. Итак, r=s, и Pi—ЯЛ» Рг = Яъ> ••• » Рг — Яп