* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 259 как само соотношение (1) показывает, что d делится на любое число, служащее общим делителем чисел а и Ь. Заметим, наконец, что весь этот круг вопросов, в особенности если присоединить к нему то, что будет по этому поводу изло­ жено в главе HI, в связи с алгорифмом Евклида, может служить превосходным — нетрудным и вместе с тем увлекательным — мате­ риалом для работы математического кружка средней школы. Воспользуемся теперь теоремой 1 для доказательства следующего очень важного предложения теории делимости (известного уже Евклиду): Т е о р е м а 2. Если числа а и Ъ взаимно просты, а произведе­ ние ас делится на Ъ> то и число с делится на Ь. В самом деле, в силу теоремы 1 целые числа х и у могут быть выбраны так, что ах—Ьу=\, откуда асх—Ъсу = с. Так как по условию ас делится на Ь, то пусть ac=bfc, k — целое, число; мы получаем: с=асх—bcy=bkx — bcy=b(kx—су), где откуда и видно, что с делится на Ь. Пусть теперь р — простое число и а — любое натуральное число; очевидно, что тогда возможно только одно из двух: либо а делится на р, либо а взаимно просто с р. В самом деле, если а не взаимно просто с р, то а и р имеют общего делителя d^>l; но р, будучи числом простым, делится только на 1 и р; поэтому d=p и а делится на р. Это простое замечание позволяет вывести из теоремы 2 сле­ дующее важное С л е д с т в и е . Если произведение ab делится на простое число р, то по меньшей мере один из сомножителей делится на р. В самом деле, если, например, а не делится на р, то в силу только что сделанного замечания а взаимно просто с р\ но тогда из делимости произведения ab на р в силу теоремы 2 вытекает, что Ь делится на р, что и требовалось доказать. Это правило, доказанное нами для произведения двух сомножи­ телей, легко способом индукции распространить и на любое число сомножителей. Пусть, например, произведение аЪс делится на простое число р; если а не делится на р, то согласно доказан­ ному произведение be должно делиться на р, а тогда, как мы знаем, либо Ъ, либо с делится на р. В конечном счёте, следова­ тельно, из делимости на простое число р произведения abc вытекает делимость на р по меньшей мере одного из сомножителей. Таким же путём от трёх сомножителей можно, очевидно, перейти к четырём, 17»