* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

252 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля получим само поле Л", а в примерах 2 и 3 получим алгебры над К, уже не являющиеся алгебрами с делением. В самом деле, согласно замечанию 1 любой элемент х алгебры R над К, содержащей К, является корнем многочлена f(z) с комплексными коэффициентами. Известно ), что любой многочлен с комплексными коэффициентами разлагается на множители первой степени также с комплексными коэффициентами. Если R — алгебра с делением, то, рассуждая, как в а), найдём, что х является корнем многочлена первой степени с комплексными коэффициентами и, следовательно, сам является комплексным числом. Поэтому R=K. Итак, если R есть алгебра над полем К ранга, большего единицы (как в примерах 2 и 3), то она не является алгеброй с делением. f Литература 1. А л е к с а н д р о в П. С , Введение в обитую теорию множеств и функ­ ций, Гостехиэдат, М,—Л., 1948. 2. Л у э и н Н. Н., Теория фупкций действительного переменного, Учпедгиз, М., 1948. 3. О к у п е в Л. Я., Осповы современной алгебры, Учпедгиз, 1941. 4. В а н д е р В а р д е н Б . Л.. Современная алгебра, ч. I , Гостехиэдат. 1947. 5. П р о с к у р я к о в И. В., Числа и многочлепы, Издательство АПН РСФСР, 1949. 6. Ш м и д т О. Ю., Абстрактная теория групп, Гостехиэдат, 1933. 7. К у р о ш А. Г., Теория групп, Гостехиэдат, 1944. 8. Е ф и м о в Н. В., Высшая геометрия, 2-е изд., Гостехиэдат, 1949. 9. К о с т и н В. И., Основания геометрии, 2-е изд., Учпедгиз, М,—Л., 1948. 10. Д е д е к и п д Э., Непрерывность и иррациональные числа, Одесса, 1923. 11. Х и п ч и п А. Я-, Восемь лекций по математическому анализу, Гос­ техиэдат, 1943. 12. К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 2-е изд., Гостехиэдат, М.—Л., 1950. 13. К у з ь м и н Р. О. и Ф а д д е е в Д. К., Алгебра и арифметика комплексных чисел, Учпедгиз, 1939. 14. Ч е з а р о Э., Элементарный учебник алгебраического анализа и исчи­ сления бесконечно малых, ОНТИ, 1936. *) См. Э. э. м., кн. 2, Л. Я. О к у н е в. Кольцо мпогочленов и поле рацио­ нальных функций, гл. I , § 6.