* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 251 Покажем, что элементы Z, / , k обладают таблицей умноже­ ния (б). Мы уже имеем: P=j*=—1 и y = £. Далее, в силу (9): k* = (lj)(lj-) = lUi)j=i(-lJ)j=]k =j (ij) =j (—ji)=/, ki = (ij) i=(—ji) 9 1, i =/, lk=l(lj)=—j. ]l = — lj= — k, kj=(lj)j=—i Таким образом, все соотношения (6) выполнены. Как было от­ мечено в конце замечания 3, число 1 является единицей алгебры /?. Поэтому совокупность Q всех элементов х из /?, имеющих вид x=a-\-bl-\-cj-{-dk с действительными а, Ь, с, d является телом кватернионов. Покажем, что R=Q. В противном случае в R су­ ществует элементу, не принадлежащий Q. По доказанному в пункте а) существуют действительные числа а и Ь, где афО, такие, что элемент l=ay-\-b обладает свойством — 1 , элемент / лежит t вне Q, так как иначе у=^ — 1—— лежал бы в Q. Рассуждая, как при выводе (8), найдём: lt-{-ll = a, jl+lj=--b 9 kl+lk=c, где а, Ь, с—действительные lk = l(lj) = (tl)J=(a = aj—i(b—jt) т. е. числа. Отсюда находим: — ll)j=oJ—i(lj) = + c — lk, = aj—bl+kl=aj—bi 2lk=c—М-}-а/. Умножая это равенство справа на к, получим: — 2l=al-\-bj-\-ck, т. е. элемент / принадлежит Q, что невозможно, следовательно, R = Q. Итак, либо /? = Д либо R=K либо R = Q. Согласно замечанию 3 любая алгебра с делением над полем действительных чисел D изоморфна алгебре R (также с делением), содержащей D, т. е. изоморфна либо полю действительных чисел D, либо полю комплексных чисел К, либо телу кватернионов. Теорема доказана. Заменяя в примерах 1—3 поле действительных чисел D полем рациональных чисел Г получим ещб три алгебры с делением, но уже над полем Г, именно: само поле рациональных чисел Г , поле комплексных чисел вида а-\-Ы с рациональными а и Ь (так называемое числовое тюле Гаусса) и тело рациональных кватер­ нионов, т. е. кватернионов вида a-\-bl-{-cj-\-dk с рациональными а, Ь, с и d. Заметим, что, заменяя в тех же примерах 1—3 поле действи­ тельных чисел D на поле комплексных чисел К* мы в примере 1 f