* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
250
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ
откуда в силу линейной независимости элементов 1, i , х р-\-г=0, Тогда из (7) следует: lx -\-x i=2/,
x x
х
находим:
р — г=0,
т. е
р=
г=0. (8)
а
где t=^(q-\-2)—
x х
действительное число. Положим теперь д; =г
2
=x -\-tl\ элементы 1, 1> х линейно независимы, так как иначе элементы 1, /, х были бы линейно зависимы. Из (8) следует:,
Х* =
й
—
1 - И ( / * 1 —
t* =
P—
1.
Число < — 1 — отрицательное действительное число, так как если t*—1]>0, то t*—1=к* с действительным к. Из перестановоч ности х и и находим:
г
( х + к) (АГ — н ) = — И * = 0,
а Й
т. е. JC = ± а—действительное число, что противоречит ли нейной независимости элементов 1, i, х . Положим х\=—с , где с — действительное число и пусть
8 2 2
Тогда У = — 1 и элементы 1, i х линейно независимы. Далее, в силу (8)
y %
2
1, /, /
линейно независимы, ибо
ij +ji=i.
1 ( = I (i
Xl
Xl
+ ti)+{(
X l
Xl
+
/01= = 1 (2/ / - 1 ) = 0, (9)
+ Я* +
l+
откуда Z/=-y7. Положим k= Ij и покажем, что k нельзя выразить линейно через 1, i , ] . Если k = a-\-bi-\-cj с действительными a, ft, с, то, умножая это равенство слева на I, получим: ik=l(ij) откуда
( a 4 ;
= — j=ai— _*
b-\-ck = ai — 6 - f c(a + ^ ) * + (* -f 1)7=0,
2
bt-{-cj)
9
)
+
( a
+
и в силу линейной независимости элементов 1, /, ] должно быть с — 1 = 0, с = — 1 , что невозможно, так как с—число — | действи тельное. Рассуждая, как выше (для 1, /, х ) докажем, что элементы 1, /, у, k линейно независимы. Таким образом, ранг алгебры R не меньше четырех.
а 2 х
