* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

246 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ З а м е ч а н и е 2.Равенства вида f(z)-\-g(z)=h(z)nf(z)»g(z)=s — h(z) Tj&f(z) g(z) h(z) — многочлены от одного неизвестного г с коэффициентами из поля Р ) сохраняют силу при замене неизве­ стного z любым элементом х алгебры R над полем Р. В самом деле, из 3) следует, что f(x)-\-g(x) = k(x) Далее, х • х =х * [§ 6, (3)]- Отсюда из законов дистрибутивности V I и из соотношений (1) и 3) следует, что 9 9 9 г 9 т п т п З а м е ч а н и е 3. Если алгебра Я над полем Р содержит еди­ ницу е (в частности, если R— алгебра с делением), то R изо­ морфна алгебре, содержащей поле А В самом деле, из 3) и (1) следует: а е -\- (це = (а -f- a ) е х х fl 9 (а е) (a&) = (а а ) (ее)=(а а ) х х 2 х 2 е. Таким образом, множество Р' всех элементов алгебры R вида ае изоморфно полю А (§ 9, определение 2). По теореме 2 из § 9 (где коммутативность умножения несущественна) существует кольцо R', содержащее Р и изоморфное кольцу R. Определим про­ изведение ах* элемента а из А на элемент У из R' как элемент /?', соответствующий произведению ах из R где х—элемент из /?, соответствующий элементу х? Нетрудно показать, что тогда R! будет алгеброй над полем А, причём для элемента У из Р опре­ делённое выше произведение ах! совпадает с произведением эле­ ментов а и л / , заданным в поле А Поэтому единица поля Р будет в то же время единицей алгебры З а м е ч а н и е 4. Алгебра с делением не имеет делителей нуля (§ 7, определение 2). Доказывается это так ж е , как в случае по­ лей: если д г у = 0 и хф0 то, умножая обе части равенства слева на д Г , получим: , у = 0 . Т е о р е м а 1. Любая коммутативная алгебра с делением R над полем действительных чисел D изоморфна либо полю дей­ ствительных чисел D, либо полю комплексных чисел R и имеет ранг 1 или 2. Обратно, любая алгебра с делением R над полем действительных чисел D ранга 1 или 2 изоморфна соответ­ ственно полю действительных или комплексных чисел и комму­ тативна* Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Пусть R—алгебра с делением над по­ лем действительных чисел D содержащая D, но не совпадающая с D. Покажем, что для любого элемента х не входящего в D, су­ ществуют действительные числа а и Ь где афО, такие, что эле9 9 1 9 9 9 ) Понятие многочлена и операций сложепия и умножения с коэффици­ ентами из некоторого поля Р вполне апалогичио соответствующим понятиям для мпогочлепов с числовыми коэффициентами. Разница лишь в том, что коэффициенты многочленов будут не ччелами, а элементами дапиого поля Р» 1