* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 245 называется сопряжённым кватерниону Ы -fcj-f-dk. дистрибутивности q= a Пользуясь таблицей умножения (6), законом и соотношением (1), легко проверить, что qq =qq Число ЛГ(?) = а - | - 6 * + <; + <* а а 8 = ср -\- Ь* -\- с* -\- d . 2 называется нормой кватерниона q = a-\-bi-\-cJ-\-dk. Очевидно, что N(q)=N(q) и N(q)^0, причём N(q)^>O если q=£0. Так как f для любого q фО, элементом то любой кватернион q фО обладает обратным Отсюда уже следует (см. § 6), что множество всех кватернио­ нов, отличных от нуля, образует группу относительно операции умножения. Поэтому кольцо Q является телом, т. е. алгеброй с де­ лением над полем действительных чисел D. Для ознакомления с другими свойствами кватернионов, в частно­ сти с их геометрическим представлением, отсылаем читателя к книге Э. Ч е з а р о [ ] , cYp. 393—412. Мы рассмотрели три алгебры с делением над полем действи­ тельных чисел, а именно ранга 1, 2 и 4. Справедлива замечатель­ ная теорема о том, что других алгебр такого типа не существует. Точнее любая алгебра с делением над полем действительных чисел изоморфна одной из этих трёх алгебр. Чтобы доказать это, сделаем несколько замечаний, касающихся алгебры над любым полем Р. Если читателя затрудняет рассмотре­ ние любого поля, то он может ограничиться нужным для дальней­ шего случаем поля действительных чисел. З а м е ч а н и е 1. Любой элемент х алгебры R над полем Р является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из поля Р, не все из которых равны нулю. В самом деле, если п — ранг R, то любые п -\~ 1 элементов x х из R линейно зависимы. В частности, элементы Ху х \ X линейно зависимы, т. е. a xа^х*-\... ...-\-а х ' = 0 где a а& а не все равны нулю. Это значит, что элемент х является корнем многочлена a z -f- а г + • . 14 v п + х t h 1 t п ¥1 п+} 9 tt п+г 2 t а . -|-a n + J -2 n + 1 с коэффициентами из Р.