* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

244 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА н поля 3 i»i=—1, l . £ = / . l = i ) находим значения всех 2 = 8 структур­ ных констант в данном базисе: C |=0, a j c 212 = l t С 21 2 = — I t c 2a2 0f = = —коммутативная алгебра с делением. П р и м е р 3. Т е л о к в а т е р н и о н о в . Существует еще одна алгебра с делением над полем действительных чисел D и призом ранга 4. Это — алгебра кватернионов Q. Будем считать, что Q содержит поле действительных чисел D. Приняв за первый элемент базиса число 1 и обозначив остальные его элементы через i , / , k находим, что любой кватернион q един­ ственным образом представляется в виде f q = a + bt + cj + dk, (5) где а, Ь, с, d — действительные числа. Для полного описания алгебры достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Мы положим: i*=f lj=k, = k* = jk = l, —l, ki=J 9 (6) y7 = — k , k j = — / , lk=—y. Кроме того, число 1 обладает обычным свойством при умноже­ нии, т. е. 1 • 1 = 1, 1 • i = i • 1 = / и т. д. Таким образом, I]—— у7, jk=—kj, ki=—ik t т. е. алгебра Q некоммутативна. Остаётся проверить ассоциативность умножения базисных эле­ ментов (4). Так как соотношения (6) симметричны относительно /, у, ft, то достаточно проверить равенства, в которых совпадают все три элемента, или два элемента, или все элементы различны, т. е. равенства Wt=ци), (U)j=im (ij)i=i