* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 243 то я ВЛ я В п (2 )(2*' /)= 2 WHVA Каждое произведение базис в виде в силу 5) линейно п (2) через выражается где c j — элементы поля Р, однозначно определяющие произ­ ведения e^j. Условиями (2) и (3) произведение любых элементов из R вполне определено, причем законы дистрибутивности V I ' будут автомати­ чески выполнены. Для выполнения закона ассоциативности умноже­ ния для любых элементов из R достаточно потребовать его выпол­ нение для элементов базиса. Это даёт условия t k ( i j)4 e e = e (c e ) i j k (/, у, k=l § 2, . . . . л). (4) Вычисляя здесь произведение элементов базиса согласно (3), мы получаем условия, связывающие элементы Су при выполнении кото­ рых в # справедлив закон ассоциативности умножения. Таким образом, алгебры ранга л над полем Р вполне определяются заданием поля Р ранга л и л элементов Су (I, j k=l 2, л) из поля Р , удо­ влетворяющих условиям (3) и (4), где e е , е — данный базис пространства Я ; л элементов Сц поля Р называются структур­ ными константами или постоянными умножения данной алгебры /?. Приведём простейшие примеры алгебр. П р и м е р I . Поле действительных чисел D является одномер­ ным векторным пространством над тем же полем D с базисным элементом 1. Считая произведение ах вектора х на числа а совпа­ дающим с обычным произведением чисел а и x получим алгебру ранга 1 над нолем D. При базисном элементе 1 единственная структурная константа с = 1. Если за базисный элемент принять любое число афО то из а*=а- а следует, что новая структур­ ная константа будет: с = а. Очевидно, что D — алгебра с деле­ нием и притом коммутативная. П р и м е р 2. Поле комплексных чисел К является двумерным векторным пространством над полем действительных чисел D с бази­ сом из двух элементов 1, 1 так как любое комплексное число представляется в виде а-\-\-Ы с действительными а и Ь. Считая произведение ах вектора х на действительное число а совпадаю­ щим с обычным произведением а и х получим алгебру ранга 2 над Z7. Из правил умножения базисных элементов (1 • 1 = 1, к9 3 к 9 9 l9 а п 8 к t ш % ш 9 9 16*