* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

242 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ О п р е д е л е н и е I . Множество R называется n-мерным век* торным пространством над данным полем Р, если в R опреде­ лена операция сложения, относительно которой R является коммутативной группой (§ 6, определение 2), и если, кроме того, определено умножение элементов из R на элементы поля Р, обладающее следующими свойствами: 1) Произведение ах любого элемента а из Р на любой эле­ мент х из R есть некоторый элемент из R. 2) а(х-\-у)=ах±ау для любых а из Р и х у из R. 3) (a-\-b)x=ax-\-bx для любых a, b из Р и х из R. 4) (ab)x=a(bx) для любых а, b из Р и х из R. Б) В R существует п элементов е ..., е (базис R) таких, что любой элемент х из R однозначно представляется в виде 9 и п x=a e -\-a^e i i 2 + . . . -f- ае п п9 где a а , вектора х. lf 9 а —элементы п поля Р, называемые компонентами Отсюда легко следует, что сложение двух векторов сводится к сложению их компонент и умножение вектора на элемент поля Р— к умножению компонент на данный элемент. Поэтому л-мерное векторное пространство над полем Р можно также определить, как совокупность всех упорядоченных систем (а , а , c j из л элементов поля Р с указанными выше сложением и умножением на элементы из Р . х а О п р е д е л е н и е 2. n-мерное векторное пространство R над полем Р называется алгеброй (или гиперкомплексной системой) ранга п над полем Р, если в R, кроме сложения, определена операция умножения, причём относительно этих двух операций R является кольцом (не обязательно коммутативным) и умножение в R связано с умножением его элементов на элементы из поля Р следующим условием: 6) (ах) у=х(ау) = а (ху) для любых а из Р и х, у из R Если при этом кольцо R является телом, то R алгеброй с делением. m называется (1) Из 6) следует: (ax)(by) = (ab)(xy) для любых a, b из Р и х, у из R. Отсюда в силу законов дистрибутивности V I ' следует, что про­ изведения любых элементов из R вполне определяются произведе­ ниями базисных элементов, так как если п п