* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 241 § 30. Гиперкомплексные числа, кватернионы В этом параграфе нам придётся пользоваться понятиями вектор­ ного пространства и основными его свойствами, а также свойствами многочленов с комплексными или действительными коэффициентами. Нужные свойства мы будем точно формулировать, но за их дока* зательствами отсылаем читателя ко второй книге «Энциклопедии» ) . Любое комплексное число представляется в виде ! (§ 28, теорема 1), т. е. линейно выражается через два числа 1 и I с действительными коэффициентами а и Ь. После того как ком­ плексные числа получили всеобщее признание в науке, естественно возник вопрос, нельзя ли построить числа, более общие, чем ком­ плексные, которые линейно выражались бы через данные п из них с действительными коэффициентами. В середине XIX столетия английским математиком Гамильтоном были построены такие числа для я = 4 , названные им кватернионами. Однако для этого при­ шлось отказаться от коммутативности умножения. Позднее было доказано, что это не случайно: поле действительных чисел (при я = 1 ) и поле комплексных чисел (при я = 2) оказались единствен­ ными полями такого рода. Имея в виду кватернионы и более общие системы, играющие в современной алгебре важную роль, мы в настоящем параграфе будем понимать под кольцом более общее образование, чем до сих пор. Именно, мы откажемся от коммутативности умножения (§ 7, свойства 1, IV). Тогда вместо одного закона дистрибутивно­ сти (§ 7, VI) надо требовать выполнения двух условий: VI'. (a-\-b)c=ac-\-bc, c(a-\-b) = ca-\-cb. Соответствующее обобщение даётся понятию поля. Здесь вместо одного закона обратимости (§ 8, свойства I , VII) требуется: VII'. Для любых а и by где аф0 уравнения ах=Ь уа=Ь имеют .решения. В отличие от колец здесь принято изменение терминологии. Множество Р с операциями сложения и умножения, обладающими свойствами I — III, V из § 7, V I ' и V I I ' и содержащее более одного элемента, называется телом. Элементы тела, отличные от нуля, образуют группу '(вообще говоря, некоммутативную). Поэтому, как и в случаях поля, тело обладает единицей, а всякий его элемент, отличный от нуля, — обратным элементом. 9 9 ') См. Э. э. м., ки. 2, А. И. У э к о в, Векторпые пространства и линейные преобразования. 16 Энциклопедия, кн. 1.