* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

240 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля В самом деле, равенство (7) содержится в теореме 2. Если же не использовать тригонометрическую форму чисел, а принять за определение модуля | z | равенство (6), то (7) можно доказать так: I *У\=У (ху) (ху) = ]/^уху = \Пхх У~уу = \х\-\у\. Для доказательства (8) сначала докажем равенство (9) Пусть z=a-\-bL Тогда |1 i ^ | = ( 1 + ^ ) ( 1 + г ) = 1 + ( г + г ) + г г = 1 + 2 а + | г | ^ * £ 1 + 2 - | * | + |*1 = р в 2 8 0+|*1) . в откуда | 1 + * | ^ 1 - Н 2 г | т. е. (9) доказано. Теперь докажем (8). Для х = 0 неравенство (8), очевидно, вы­ полнено. Если хфО, то * + . v l = l * ( i + - * - . v ) 1=1*1 Ai+x1 1 У\^\х\{\ l + \х- у\)= 1 = \x\ + \x\\*r*y\ = \x\ + \xx- y\ = \x\-\-\y\. что и требовалось доказать. Определения предела последовательности, фундаментальной по­ следовательности и полноты поля (§ 24, определения 3—5) исполь­ зуют лишь понятия абсолютной величины элементов, а доказатель­ ства свойств этих понятий (§ 24, теоремы 1—3) используют лишь свойства абсолютной величины, доказанные в теореме 8 из § 9, т. е. | а | ^ > 0 для афО, \аЬ\ = \а\\Ь\, |а + & | ^ М + 1 Н Равенства (7) и (8) показывают, что модуль \z\ комплексного числа z обладает аналогичными свойствами. Поэтому в поле ком­ плексных чисел имеют смысл понятие предела последовательности и другие вышеуказанные понятия и сохраняют силу многие из свойств этих понятий. Точно так же основные понятия и теоремы математического анализа сохраняют силу при переходе от поля действительных к полю комплексных чисел. Их рассмотрение со­ ставляет обширную и стройную теорию, называемую теорией функ­ ций комплексного переменного *) См. Э. э. м., кн. 3, В. Л. Г о и ч а р о в. Элементарные функции в ком плексиой области.