* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 237 Д о к а з а т е л ь с т в о . Частное, как и любое комплексное число, можно записать в тригонометрической форме. Пусть эта запись будет: r ( c o s a - { - / s i n a ) . По определению частного тогда 0 0 0 r (cos aj -J-1 sin a , ) = r x a (cos a -|-1 sin a ) • r (cos a -f-1 sin a ) = a a 0 0 0 § = V откуда, включая в a a a a т е г 0 [cos (a a a ) - f i sin (a, -f- a )], 0 0 слагаемое, a = a a кратное 2к, ч е й находим: г =г г , 1 а 0 i = a + oi - - о = ^г> o i— i» теорема доказана. При совпадении сомножителей из теоремы 2 получается так на­ зываемая формула Муавра [г (cos a - | - i sin a ) ] " = г " (cos па i sin «a). (4) Теперь легко решается вопрос об извлечении корня из комплекс­ ного числа. Т е о р е м а 4. Пусть z — комплексное и п — натуральное число. В поле комплексных чение О, а при гфО чисел \/z имеет при z=0 единственное имеет п различных значений. Если z=r то эти значения * =>Mcos— f t зна­ (cos a - | - i sin a), no формуле J (А = 0, I , 2 , . . . , п— I ) . (5) находятся 1- г s i n — ^ Д о к а з а т е л ь с т в о . О" = О и из = в силу отсутствия делителей нуля в поле К (§ 8, теорема I ) следует х = 0 . Таким Л,-- образом, при <г = 0 единственное значение yz Пусть z=r(cosa-\-isin a) ^ 0. есть О- Тогда г ^ О и аргумент а определен с точностью до кратного 2 я . Предположим, что имеет значение х в поле комплексных чисел. Это означает, что X =z. По теореме I число х можно записать в тригонометрической форме: я х=t> (cos a' - f I sin a'), > 0. Тогда по формуле Муавра (4) находим: r' (cos ла' - | - i sin ла') = r (cos a-\-i sin a), откуда n