* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 235 ft*s£r , 0 4 то 0 и j-p-j^ 1. Существует число а 26, 0 0 такое, что как Оа^а ^ у H S i n o = \у\(§ теорема —= 5). 0 Так (7)*+ — + ( —) = 1 , то 0 y=±cosа и zhsina . 0 Если ~ = c o s a и * = sin а , то положим а = о ; если 0 cosa 0 ft ft и y = s i n o , то положим: а = тг — а, и а = а,; если у = — s i n o p то положим: a j = — а. Всегда получим число о такое, что 0 0 а — — cos a, г и таким образом Ь . — = sin a, г r(cosa^/sfna). z = a ^ f t / = r ^ + £yj = Итак, z записано в тригонометрической форме. Очевидно, что, при­ бавляя к а число 2къ с любым целым Л, мы получим тригонометри­ ческую форму того же числа г. Докажем единственность модуля. Пусть a -|- 6/ = г (cos a -|— i sin a). Тогда a=r cos a, ft=r sin a. (1) Возводя эти равенства в квадрат и складывая, находим: a - J - f t " = r , т. е. r = i / a - } " ^ - Мы берём положительное значение корня, ибо r^>Q. Этим единственность г доказана. у Наконец, если даны две тригонометри­ ческие формы числа z: 8 s 9 a г (cos Gt| то при гфО sin a , ) = r (cos a - | - / sin a ) , a 2 также гфО, 2 откуда sin a = sin a l 2 cos a, = cos a , и, как известно из тригонометрии, тогда a = a - | - 2 ^ с целым k. Теорема доказана. Выясним геометрический смысл модуля и аргумента. Пусть числу z=r (cos a - j - i sin a) соответствует точка Z плоскости Оху (рис. 3 ) . Соединим эту точку отрезком прямой с началом координат О и опустим из точки Z на действительную ось Ох перпендикуляр ZP. Если z=a-\-bi то длина отрезка ОР равна | а |, а длина ZP равна | ft [. Поэтому ] 2 % O Z = OP + Z P = a + 2 8 S! 9 ft =r , a 2 откуда r = O Z . Итак, модуль числа z равен расстоянию точки Z O T