* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

228 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля ного числа не имеет действительных значений, т. е. при действи­ тельном о < ( 0 и четном натуральном п не существует действи­ тельного Ъ, для которого Ь = а (§ 26, теореиа 4). Следуя общему плану расширения числовых областей, намеченному в § 18, мы рас­ ширим теперь поле действительных чисел D до поля комплексных чисел К, в котором операция извлечения корня уже всегда выпол­ нима» При этом получается существенно новый результат и для тех случаев, когда эта операция была выполнима в поле D. Именно, п в новом поле К *\fa при любом а ф О и любом натуральном п будет иметь ровно п значений *). Как мы увидим, достаточно расширить поле D до такого поля, где V—1 имеет хотя бы одно значение, т. е. существует элемент для которого Р =—1. Мы будем искать минимальное расшире­ ние такого рода в смысле следующего определения: О п р е д е л е н и е 1. Полем комплексных чисел называется ми­ нимальное поле К, содержащее поле действительных чисел D и элемент i со свойством / = — 1 , т. е. множество К> обладающее следующими свойстзами: 1) К является полем, содержащим в качестве подполя поле действительных чисел D и элемент i со свойством / = — 1 . 2) Поле К не содержит никакого подполя, отличного от него самого и обладающего теми же свойствами. Элементы поля К называются комплексными числами. Сначала докажем единственность (как всегда, с точностью до изоморфизма) определённого таким образом поля К. Т е о р е м а 1. Поле К, содержащее поле действительных чисел D ) и элемент i со свойством / = — 1, будет минимальным (т. е. полем комплексных чисел) тогда и только тогда, когда каждый элемент х из К можно представить в виде 8 а а 2 х = а-\-Ы, (1) где а и Ь — действительные числа. ПрЬ этом такое представле­ ние единственно, т. е. для данного элемента х из К существует лишь, одна пара действительных чисел а, Ь (взятых в данном по­ рядке), удовлетворяющих равенству (1). ) Значении уа являются, очевидно, корнями уравнения х — д = 0. Уравнения такого вида называются двучленными. Таким образом, в поле комплексных чисел К разрешимы все двучленные уравнения. Справедливо более сильное утверждение, что в поле К разрешимы вес алгебраические уравнения, т. е. уравнения вида /(д:) = 0, где f(x) — любой многочлен сте­ пени я ^ 1 с любыми комплексными коэффициентами. Доказательство этой теоремы см. Э. э. м., книга % Л. Я. О к у u е в, кольцо многочленов и поле рациональных функций, гл. I , § 6. ) Как всегда, говоря, что одно поле содержит другое, мы подразуме­ ваем, что операции в меньшем ноле совпадают с одноимёнными операциями •I большем иоле. 9 1 п