* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

224 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля VIII. ( А к с и о м а м о щ н о с т и . ) Множество D содержит по крайней мере два различных элемента. Условия I — VIII означают, что D — поле (§ 8, определение 1). Стало быть, определено понятие подполя поля D (§ 8, определе­ ние 3). Далее: IX. Для любого элемента а множества D имеет место один и только один из трёх случаев', а положителен, а = 0, — а по­ ложителен. X. Сумма и произведение положительных элементов положи­ тельны. Условия I — X означают, что D — расположенное поле. Стало быть, определяя а^>Ь, если элемент а — Ъ положителен, превратим D в упорядоченное множество (§ 10, теорема 1). Далее: X I . (А к с и о м а А р х и м е д а . ) Для любых элементов а и Ъ множества D, где Ь^>0, существует натуральное число п такое, что nb^>a. Условия I — XI означают, что D — архимедовски расположенное Поле. Стало быть, в D определены понятия предела последователь­ ности и фундаментальной последовательности, не меняющиеся при замене D любым его подполем, содержащим все рассматриваемые элементы (§ 24, теорема 5). Наконец: X I I . ( А к с и о м а п о л н о т ы . ) Любая фундаментальная после­ довательность элементов множества D имеет предел в этом множестве. Условия I — XII означают, что D — непрерывное поле (§ 24, оп­ ределение 6). Отметим, что это определение предполагает уже построенные натуральные числа. Иначе аксиома Архимеда X I теряет смысл. Ниже мы приведём другую систему аксиом, не опирающуюся на понятие натурального числа. Возникает вопрос о непротиворечивости, полноте и независи­ мости системы аксиом I — XII. Для доказательства непротиворечивости системы аксиом I — X I I достаточно найти для неё хотя бы одну интерпретацию (§ 17, опре­ деление 1). Но поле D , построенное в § 25 (определение 2, тео­ рема 4), даёт такую интерпретацию. Правда, построение поля D опирается на поле рациональных чисел, но, беря конструктивное определение его, т. е. поле Г (§ 22, определение 2), где за кольцо целых чисел принято его конструктивное определение С (§ 20, определение 2), мы сводим построение поля D к натуральным чи­ слам. Этим непротиворечивость системы аксиом 1—XII сведена к непротиворечивости (в смысле существования интерпретации) си­ стемы аксиом для натуральных чисел. Для доказательства полноты системы аксиом I — X I I достаточно показать, что две любые интерпретации этой системы изоморфны (§ 17, определение 3). Но это, по сути дела, нами уже доказано. 0 0 0 0 0