* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

222 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля В самом деле, пусть а<^Ь 9 п Ъ — д ] > 0 . По аксиоме Архимеда т о г д а - i - < ^ ft—.а. Далее, и / я , для которых а существует натуральное число ^ > существуют натуральные числа т х т. е. (—Щ)^<С а Поэтому множество А тех х целых чисел k f для которых £ ~ ] > а , непусто (ибо содержит т ) ^ограничено снизу числом — / я . Следовательно, оно содержит наименьшее число т а (§ 21, теорема 5). Тогда п = / / t ~ l ^ д < ^ — , откуда —ц—Ь „ < « + ( * — )=*- fl т. е. рациональное число — лежит между а и ft. При изоморфном отображении / поля D в себя поле рациональ­ ных чисел тождественно отображается на себя (§ 23, теорема 2). Если бы отображение / не было тождественным отображением поля D на себя, то существов: ло бы действительное число а такое, что f(a)=b фа. Пусть, например, a<^ft. По доказанному суще­ ствует рациональное число с такое, что а<^с<^Ь, откуда а — с<^0<^Ь— Но f(c-a)=f(c)-f(a) = — с и с — а^>0^>с c-b, — ft. перешло в число с ft<^0, что невозможно. Оперировать с действительными числами как классами фунда­ ментальных последовательностей рациональных чисел практически неудобно ввиду громоздкости такого изображения. На практике при вычислениях с действительными числами применяется их запись десятичными дробями *). т. е. число с — а^>0 § 27. Аксиоматическое определение действительных чисел Совокупность натуральных чисел мы определили при помощи основного отношения «следует», подчинённого системе аксиом Пеано (§ 11, определение 1). Такое построение математической тео­ рии является а к с и о м а т и ч е с к и м . Далее, с помощью натуральных чисел мы последовательно определили целые, рациональные и дей­ ствительные числа. Во всех этих трёх случаях новая числовая обL ) См. статью А. Я. Хин чипа «Элементы теории чисел», гл. IV.