* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 221 рого sin ft = д. Для доказательства единственности числа ft восполь­ зуемся свойством функции sin л? возрастать с ростом угла от нуля до -g-. Это известно из тригонометрии 0^x <^x ^-^, t % х а и доказывается так: если то большему углу соответствует и ббльшая дуга, но 0 < ^ 2х < ^ 2дг ^ тг, и для таких дуг ббльшая дуга стягивается большей хордой. Половина хорды, стягивающей дугу длины 2х, является линией синусов угла дг. Отсюда ясно, что sin J C i ^ s i n J t . a Если теперь Ь'фЬ— другое число отрезка |^0, -^-J. Р Ь<^Ь' будет: sin ft < ^ sin ft', а при ft'<^ft будет: —sin ft' < ^ sin ft. Следова­ тельно, sin ft' ф a. Рассмотрим в заключение этого параграфа некоторые свойства поля действительных чисел как непрерывно расположенного поля. Т е о р е м а 6. Поле действительных чисел D может быть рас­ положено лишь одним способом (при сохранении операций сложе­ ния и умножения) и допускает лишь одно изоморфное (относи­ тельно сложения и умножения) отображение в себя, а именно, тождественное отображение на самого себя. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть D — поле действительных чисел, расположенное обычным образом (§ 25, определение 2 и ниже), и D' — поле, совпадающее с D по составу элементов и по операциям сложения и умножения, но расположенное произвольным образом. Из совпадения сложения следует, что нуль поля D будет нулём и в £>'. Далее, если а ] > 0 в Д то по теореме 4 существует число ft такое, что a = ft в D, а по совпадению умножения — и в П. Так как D' — расположенное поле, то его элемент а как квадрат эле­ мента ft положителен (§ 10, теорема 7), ибо афО, т. е. а^>0 в D . Если а<^0 в D, то — а ^ > 0 в D, а поэтому и в D', т. е. а < ^ 0 также в П. Отсюда следует, что если А ^ > 0 в Д', то с > 0 в Д ибо исключено, что а^ 0 в D. Таким образом, а тогда и только тогда положительно в £)', когда оно положительно в D, т. е. расположен­ ное поле В совпадает с D\ поле D допускает лишь одно распо­ ложение. Пусть x'=f(x) — любое изоморфное (относительно сложения и умножения) отображение поля действительных чисел D на некото­ рое его подполе Р. Если число а } > 0 , то а=Ь*, где ЬфО» В силу свойств изоморфизма тогда a 1 т о П И а' = / ( а ) = / ( * * ) = \f{b)f > 0, т. е. при изоморфизме / положительное число переходит в поло­ жительное. Между двумя различными действительными числами а и ft все­ гда лежит рациональное число с.