* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 215 Т е о р е м а 1. Функция только тогда непрерывна следует limf(x )=f(x ) n Q f, заданная на множестве X, тогда и в точке х из X, когда из Птх =х 0 п 0 л -* со для любой последовательности \х ) п Л-»со множества X. Функция f(x) тогда и только тогда непрерывна на множестве X, если из lim = следует Mmf(x„)=f(x ) для любого числа х из X и любой последовательности \х ] чисел множества X. Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно,очевидно,доказать часть тео­ ремы, относящуюся к непрерывности в точке. а) Пусть f(x) непрерывна в точке х и \1тх =х . Берем лю­ бое число е ^ > 0 . По определению непрерывности существует число 8 > 0 такое, что из \х — * | < 8 следует \f(x)— / ( л г ) | < е для любого х из X. По определению предела (§ 24, определение 3) для этого числа 8 существует натуральное число л такое, что \х — лг [<С^ Р любом л ^ > л . По выбору числа 8 отсюда следует, что | / (х ) — / (х ) | < ] е при любом п > л . По определению предела это значит, что 0 0 п 0 п 0 f l 0 0 П И п 0 0 п 0 0 lim/(*„) = / ( * „ ) . б) Пусть \itnf(x„)=f(x ) 0 для любой последовательности 0 \х ] п л -»00 из X. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х , то существует число е ^ > 0 , для которого нельзя найти числа 8 с тре­ буемым в определении 2 свойством. Иными словами, при выбран­ ном таким образом £ для любого числа 8^>0 существует число х множества Э т а к о е , что \х—-v |<[8, но \f(x)—/(дг )|^е. По­ этому для любого натурального числа л существует число х из X такое, что 0 0 п \*п— ^ о К р О) (2) |/(*«)-/(*о)>* при любом л. Так как поле действительных чисел по определению архиме­ довски расположено (§ 25, определение 1), то для любого действи­ тельного числа е ^ > 0 существует натуральное л ^ > — . Т о г д а и з ( 1 ) 1 1 ^ находим I х —х | ^ - ^ г ' ч ^ Р любом л > л , т. е. \1тх = =х . По условию тогда также Н т / ( д г ) = / ( л ; ) , что, очевидно, про­ тиворечит (2). Таким образом, f(x) непрерывна в точке х . Определим сумму, разность, произведение и частное двух фун­ кций / , (х) и / (х) заданных на множестве X, как функцию, с о т > ставляющую с каждым числом х из X соответственно сумму, разность, произведение и частное значений данных функций в точке А , Т. С. 0 0 П И п 0 0 п 0 я 0 0 а $ -