* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

204 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ для любых непрерывных полей с заменой рациональных чисел рацио­ нальными элементами Д о к а з а т е л ь с т в о . Строим отображение / поля D в поле D следующим образом- Пусть d —любой элемент поля D . Так как D архимедовски расположено, то по теореме 1 d = \\ma с рацио­ нальными а . Таким образом, последовательность \а \ фундамен­ тальна в Z),, а потому и в его подполе Г. Так как Г с : О и D архимедовски расположено, то последовательность \а \, фундамен­ тальная в Г , будет фундаментальной и в D (§ 24, теорема 5). Так как D полно, то \\ma =d в D . Мы положим f(d )=d . Покажем, что элемент d не зависит от выбора последователь­ ности рациональных чисел \а \. Если еще \imb =d с рациональ­ ными Ь то l l m a = = l i m & , откуда Н т ( а — Ь ) = 0 [§ 24, тео­ рема 2, а)] в D а следовательно, в Г. Рассуждая, как выше, мы найдём, что lim(a — b ) = 0 в £ ) и lim a„ = lim b = d . Если d — рациональное число, то l i m a = d | , где a = d при любом л . Таким образом, f(d ) = d т. е. отображение / о с т а в л я е т на месте рацио­ нальные числа. Если Ci^d и Ci = 1ima , d = \imb то l i m ( a — Ь )ф0 и \\та фМтЬ в D , т. е. f(c )z£f(d ). Итак, о т о б р а ж е н и е / является взаимно однозначным отображением D в D . Оно зависит от определения предела в D и Х5 , а потому зависит от отноше­ ний порядка в этих полях. Покажем, что / есть изоморфное отображение D в D . Надо показать, что для любых элементов с и d из D будет: x 2 x t x x n п п в 2 п 2 % n 9 2 x 2 2 п n x п9 n n п п l9 rt n 2 n 2 x n n x x X9 t n x n9 n п п п 2 t t t 2 t 2 x 2 х v x f(c x +rf )=/(c )+/(rf ). 1 1 1 f{Cyd )=f{c )f(d ). x x x Это легко следует из теоремы 2, б), в) § 24, именно, если Ci = lim а d =\\m Ь то, применяя определение отображения / , имеем: п9 x п9 / ( с , + d,) = / (lim а + lim b ) =f [(Hm (a„ + b )} = = l i m / ( a „ + b ) = lim I / ( a „ ) + / ( & „ ) ] = = U m / ( a „ ) + l i m / ( * „ ) = / ( l i m a„) + / ( l i m b ) = п n n n n = / ( C l ) + / № ) . и аналогично доказывается второе равенство. Покажем, что отображение / сохраняет отношение порядка. Пусть c <^d в поле D и c, = l i m a , d =\imb . Тогда сущест­ вует п такое, что а <^Ь при любом п^>п [§ 24, теорема 2, д)] и l i m a a ^ l l m & в D т. е. f(c )^f(d ). Но из с Ф d следует: f(c ) ф f(d ). Таким образом, f(c )