* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

202 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ отношение отрезков, мы можем найти периметры а и Ь п-го вписанного и «-го описанного многоугольника. Известными из школы рассуждениями можно показать, что a <^a^<^.~. и Ъ^> Далее а <^Ь и \im(b — а ) = 0 . Отсюда легко вывести, что обе последовательности, \ а \ и { Ъ \ элементов поля Р фундаментальны и в силу полноты Р имеют в нём общий предел с. Элемент с поля Р по определению принимается за длину окружности. Аналогично определяется длина дуги данной окружности. Можно показать, что длина дуги заключена между нулём и длиной окружности с и, обратно, для каждого элемента с' поля Р такого, что 0 < V < ^ c , можно найти дугу данной окруж­ ности длины с'. В этом смысле задача о длине дуги окружности также решается в непрерывном поле Р . В следующем параграфе мы увидим, что непрерывное поле и будет полем действительных чисел. п п v п п n п п п й § 25. Определение поля действительных чисел В поле рациональных чисел Г не всегда выполнима операция предельного перехода для фундаментальной последовательности,' т. е. поле Г не является полным (§ 24, теорема 4). Следуя общему плану расширения числовых совокупностей, намеченному в § 18, мы расширим поле Г до нового поля D , в котором было бы опре­ делено расположение и любая фундаментальная последовательность имела бы предел. При этом мы хотим, чтобы операция предель­ ного перехода, не всегда выполнимая в Г для фундаментальных после­ довательностей, в новом поле D для тех же последовательностей из Г была уже выполнима. Стало быть, фундаментальные последо­ вательности из Г должны оставаться фундаментальными и в D . Это означает, что D должно быть полным и архимедовски распо­ ложенным полем (§ 24, теорема 5). Иными словами, D должно быть непрерывным полем. Как и в случае целых (§ 20) и рацио­ нальных (§ 22) чисел, мы ищем минимальное расширение с нуж­ ными свойствами. Однако оказывается, что условие минимальности будет выполнено само собой, так как требование непрерывности определяет поле однозначно с точностью до изоморфизма. Поэтому было бы излишним включать в определение требование минималь­ ности. Так, мы приходим к 'определению: * О п р е д е л е н и е 1. Полем действительных чисел называется непрерывное поле D, содержащее в качестве подполя поле рацио­ нальных чисел Г . Элементы поля D называются действительными числами. Доказательство существования и единственности поля Д удо­ влетворяющее этому определению, проходит аналогично случаю кольца целых чисел (§ 20) и поля рациональных чисел (§ 22). Нач­ нём с доказательства единственности.