* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

198 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ЛОЛЯ v тогда, например, с - AB<^MN, или c-AB=MN причём отрезок MN составляет часть отрезка MN. Как бы мал ни был отрезок N N, по геометрической аксиоме Архимеда найдётся натуральное k такое, что k * N N^>AB. Но l O > A [§ 23, (3)] и 10* -N N>AB, откуда АВ l(jb<^NiN. Число а определялось так, что a *AB^MNMN. Также придём к противоре­ чию, предположив, что c-AB^>MN. Таким образом с - A B = MN. Если отрезки АВ и MN несоизмеримы, то их отношение не может выражаться рациональным числом, а потому построенные для от­ резков последовательности рациональных чисел \а \ и \Ь } не имеют предела в поле рациональных чисел, хотя и являются фундамен­ тальными. Итак, в поле рациональных чисел существуют фундаменталь­ ные последовательности, не имеющие предела. О п р е д е л е н и е 5. Расположенное поле называется полным, если оно обладает следующим свойством . XII ( а к с и о м а п о л н о т ы ) . Любая фундаментальная последо­ вательность элементов данного поля сходится, т. е. имеет пре­ дел в этом поле. Из сказанного выше вытекает Т е о р е м а 4. Поле рациональных чисел Г не является полным. Мы дали выше два доказательства этой теоремы, построив рас­ ходящиеся фундаментальные последовательности рациональных чисел для несоизмеримых отрезков и для рационального числа, не являю­ щегося k-ft степенью никакого рационального числа. Доказательство с помощью отрезков опиралось на положения геометрии, которые здесь не обосновывались. Другое же доказательство опиралось лишь на доказанные нами свойства рациональных чисел и потому может считаться доведённым* до конца. З а м е ч а н и е . Введённые выше понятия фундаментальной после­ довательности, её предела и связанное с ними понятие полного поля имеют одно свойство, коренным образом отличающее их от введённых ранее понятий: алгебраических операций, расположения и архимедовского расположения. Именно, пусть дано поле Р и его подполе Р. Если для элементов а, Ь с из подполя Р имеет место соотношение а-\-Ь = с, то это соотношение по самому определеп п 9 9