* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 179 4) Поле Г не содержит отличного от него самого подполя, содержащего С. Чтобы в этом убедиться, покажем, что любой элемент поля Г равен частному целых чисел. Любой элемент из Г имеет вид / ( а ) , где а — некоторый класс поля Г . Пусть класс а содержит пару (А, / ) целых чисел, причём / ф 0. Тогда к=/ф), / = / ( у ) . По определению отображения / класс р состоит из пар вида (kc с) и у — из пар вида (/с, с), следовательно класс содержит пару 0 t (к, l)(ic, c) = (klc, lc)r^(kc 9 с), откуда о у = р . Согласно определению умножения в Г [второе из равенств (7)] отсюда находим: / ( < х ) - / ( т ) = / ( р ) , откуда f ( a ) = m = * Любое подполе поля Г, содержащее все целые числа, должно содержать и все их частные, т. е. по доказанному всё поле Г, чем и завершается доказательство теоремы. Итак, одно из изоморфных полей рациональных чисел нами построено. Его элементами являются, во-первых, все целые числа и, во-вторых, классы эквивалентных пар целых чисел вида (а, Ь), где Ь ф 0 и а не делится на Ь. Этим решён вопрос о существова­ нии поля рациональных чисел, т. е. поля, удовлетворяющего опре­ делению 1. Остаётся ввести для рациональных чисел обычные обо­ значения с помощью дробей и показать, что эти числа обладают обычными, всем известными, свойствами. § 23, Свойства рациональных чисел Введём для рациональных чисел, рассматриваемых как элементы построенного в предыдущем параграфе поля Г обычные обозначе­ ния с помощью дробей. Каждое рациональное число а является образом некоторого класса а поля Г , т. е. а=/(а). Класс а одно­ значно определяется любой входящей в него парой (к, / ) целых чисел, где / ф 0. Таким образом, любое рациональное число а одно­ значно определяется парой (k, t) из класса а. Будем обозначать ¥ 0 k k это число а через у , а символы у , 1ф0, будем называть дробями где к и / — ц е л ы е числа и *) Таким образом, в отличне от молчаливо принимаемого обычно пони­ мания дробей как чисел особой категории мы считаем дроби не числами, а лишь символами для обоэпачепия чисел. В самом деле, различные дроби могут обозначать одно и то же числа Так, 2_— А _ _ — Ё 3 ~~ б ~~ 9 * • — 12*