* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

178 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Покажем, что / будет изоморфным отображением множества С с операциями над классами на кольцо целых чисел. Досгаточно доказать равенства Л « ) + / ( [ 3 ) = / ( < * + ?). ЛсО-/(Р)=/(аР). $ (6) Но если класс а содержит пару (ас, с) и класс р — п а р у (Ьс с), то (ct-f-P) содержит пару (ас, с) + (Ьс, с)=[(а и класс а р — п а р у (ас, c)(bc, c)=(abc*, откуда /(a+p) = a + fc=/(a)+/(p) с ), 3 + Ь)с\ с] 2 /(ap)=^=/(a)./(p). Построим теперь искомое поле рациональных чисел Г. Пусть Г—множество, полученное из поля Г путём замены каждого класса множества С соответствующим ему при отображении / целым чис­ лом. Для определения операций в Г дополним определение отобра­ жения / , положив f(a) = a для любого класса из Г , не входящего в С. Тогда / будет взаимно однозначным отображением Г на Г . Сложение и умножение в Г определяем равенствами 0 0 0 / ( « ) + / ( ? ) = / ( < * + Р). / ( а ) - / ( Р ) = / ( * Р ) 0 (7) Здесь а и р — любые элементы Г , следовательно / ( а ) и / ( Р ) — любые элементы Г. Поэтому равенствами (7) действительно опре­ делены операции во множестве Г . Т е о р е м а 7. Множество Г с операциями, определёнными ра­ венствами (7), является полем рациональных чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . Надо показать, что множество Г обладает свойствами 1)—4) из определения 1. 1) Г содержит кольцо целых чисел С по построению. 2) Г является полем, так как равенства (7), определяющие сло­ жение и умножение в Г, вместе с тем показывают, что множество Г относительно этих операций изоморфно полю Г . Но множество с двумя операциями, изоморфное полю, само является полем (§ 9, теорема 1). 3) Сложение и умножение целых чисел совпадают с одноимён­ ными операциями над этими числами в поле Г. В самом деле, при отображении / целые числа являются образами элементов множества С из поля Г. Но если а и р — классы из С , то для них равенства (7) совпадают с (6), где сложение и умножение в левых частях равенств означают операции над целыми числами, определённые в § 20. 0