* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 177 пары вида (О, Ь) эквивалентны между собо/i. Обратно, любая пара C*f y)t эквивалентная паре (О, Ь), сама имеет тот же вид, так как из xb=y*0 и ЬфО следует д; = 0. Таким образом, все пары вида (О, Ь) образуют один класс, который, очевидно, является нулём кольца Г . Далее, очевидно, что противоположным для класса а, содержащего пару (а, Ь) является класс, содержащий пару (—а, Ь). Будем его обозначать ч е р е з — а . Проверим теперь выполнение аксиомы V I I . Пусть даны классы а и р , причём класс а отличен от нуля. Если а содержит пару (а, Ь) и р—пару (с, tf), то афО. Существует поэтому пара (Ьс ad). Пусть к — класс, содержащий эту пару. Из 0 9 9 (а, Ь)(Ьс 9 ad)=(abc 9 abd)~(c 9 d) 0 следует а ? = р , что и доказывает VII. Итак, Г является полем. Выясним ещё, какой смысл имеют в поле Г единица и обратный элемент. Если а е = а , где а отлично от нуля, а содержит (а, Ь) где аф0 е содержит (х у) то (а Ь)(х, у)~ (а Ь), откуда abx= =аЬу х=у. Очевидно, что, обратно, пара вида (дг, х) хфО удовлетворяет условию (а, Ь)(х л г ) ~ ( а , Ь). 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Все пары этого вида составляют один класс, играющий, очевидно, роль единицы в поле Г . Обратным для класса а, содержащего пару ( я , Ь) аф0 будет класс, содержащий пару (Ь а) так как (a, b)(b a) = (ab, аЬ) при­ надлежит единичному классу. Построенное поле Г является изоморфным полю рациональных чисел. Само поле Г не удовлетворяет определению 1, так как не содержит среди своих элементов целых чисел. Займёмся теперь включением в поле Г кольца целых чисел. Сначала найдём в поле Г множество, изоморфное кольцу целых чисел С. Пусть класс а содержит пару (Ь с) где Ь делится на с т. е. Ь=ас. Очевидно, что две пары вида (ас с,) и (ас , с ) экви­ валентны. Обратно, всякая пара, эквивалентная паре (ac с), сама будет вида (ас с ). В самом деле, из (b с ) ~ (ас, с) следует: Ь с=с ас откуда Ь = ас . Итак, класс а состоит из пар вида (ас, с) с данным а и любым сфО. Пусть С — множество всех классов пар (Ь с), где Ь делится на с. Каждому классу а из С поставим в соответствие число а такое, что пара (ас с) принадлежит этому классу а. Так как (ac с )^(ас c ), то этим определено однозначное отображение a=f(a) множества классов С во множество целых чисел С. Двум разным классам соответствуют разные числа, и любое число а соответ­ ствует некоторому классу, именно классу, содержащему пару (ас, с). Таким образом, / есть взаимно однозначное отображение С на С. 0 9 9 9 9 9 0 0 0 0 9 9 9 19 а 2 t 19 х l9 г 1 1 9 г 1 9 9 l9 г %9 s 12 Энциклопедия, к н . 1.