* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 176 тогда и только тогда, когда ad = bc, (a, b)-\-(c, (a, b)(c t d)=(ad+bc< d) = (ac bd). 3 bd), (3) (4) Отметим, что пары в правых частях (3) и (4) снова принадле­ жат множеству М, так как из ft^O и rf^O следует bd^O для любых целых чисел b и d (§ 21, теорема 2). Т е о р е м а 4. Сложение а умножение пар коммутативны, ассоциативны, а вместо закона дистрибутивности верна эквива­ лентность [(а, Ь) + (с, d)] (е, / ) ~ (а, Ь) (е, f) + (с, d) (е, / ) . (5) Д о к а з а т е л ь с т в о Все эти свойства доказываются непосред­ ственной проверкой с использованием свойств целых чисел как эле­ ментов кольца (§ 20, определение 1).. Проверим, например, эквива­ лентность (5). Преобразуем левую и правую части отдельно: [(а, Ь) + (с, d)](e, {a, b)(e, + d)(e f f) = (ad + bc, bd)(e, f)=(ae, bf) + (ce, = (aedf-\-bfce, f)=(adc-{-bce. df)= bfdf). bdf), Но из определения эквивалентности (2) следует, что получив­ шиеся в итоге пары эквивалентны. Отношение эквивалентности пар (2) обладает тремя основными свойствами равенства (§ 19), а именно: 1) (a, b)~(a Ь), ибо ab = ba; 2) если (a, b)~(c, d), то (с, d)~(a, b)\ ибо если ad = bc, то cb = da\ * 3) если (а, Ь)~ (с, d) и (с, d)r^(e,f), то (а, b)~(e,f), ибо умно­ жая равенство ad = bc на / и равенство cf=de на находим: adf=bcf=bde, т. е. adf=bde, откуда af—be, так как d^O. Это отношение определяет разбиение множества Ж на классы эквивалентных пар. Будем обозначать эти классы малыми греческими буквами а, р, у, 8, . . . О п р е д е л е н и е 2. Пусть Г сс/кб множегтво всех классов эквивалентных пар множества М. Суммой (произведением) двух классов а « р назовём тот класс а-j-f) (соответственно, а|3), кото­ рый содержит сумму (произведение) пары класса а и пары класса р. Как и в предыдущей главе, независимость суммы и произведе­ ния классов от выбора их представителей вытекает из такой теоремы: Т е о р е м а 5. Если (a b )^(a b%) и (c d i ) ^ (с* d%), то t 0 1§ l 2l lt + и (a u **) + (<*. u b )(c x d )~(a x it * ) f a . <У. s