* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

174 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля следует поэтому, что М содержит С, и в силу минимальности Г М=Г. Это значит, что любое рациональное число равно частному целых чисел. Т е о р е м а 2. (Ср. § 20, теорема 2.) Все минимальные поля, содержащие кольцо С целых чисел, изоморфны, т. е. поле рацио­ нальных чисел единственно до изоморфизма. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть T и Г — два таких поля. По пре­ дыдущей теореме любой элемент Г] и Г равен частному целых чисел. Строим отображение / поля 1 \ на Г так: если с £Т t а 8 й г и С| = -^- в Г*1, где а и Ь — целые числа и с = у 2 1 fi в Г , то 2 положим / ( c ) = c . Ввиду полной аналогии дальнейших рассуждений с дока­ зательством теоремы 2 из § 20 ограничимся лишь указанием, что взаимная однозначность этого отображения следует из свойства а). Далее, из свойства б) следует: /(c,+rfi)=/(c )+/(rf ), 1 1 и из в) следует /MI)=/(CI)/№) для любых С| и d из Г, что и доказывает изоморфизм полей 1 \ и Г . Т е о р е м а 3. (Ср. § 20, теорема 3,) Любое поле Р, содержа­ щее кольцо целых чисел С, содержит и поле рациональных чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пересечение всех подполей поля Р, содер­ жащих С, будет опять подполем (§ 8, теорема 6), содержащим С и при этом минимальным, так как оно входит в любое подполе, содержащее С. Согласно определению 1 это подполе' будет нолем рациональных чисел. Переходим к доказательству существования поля рациональных чисел. Как и в случае кольца целых чисел, это доказательство проводится путём построения примера (интерпретации) поля, удо­ влетворяющего определению 1. Конструкция одного из изоморфных полей рациональных чисел подсказывается теоремой 1. Ведь если Г — п о л е рациональных чисел, то элементами Г будут частные целых чисел. Правила сравнения и операции сложения и умножения для этих частных задаются формулами (1). За исходный элемент построения поля рациональных чисел при­ нимаем опять пару (а, Ь) целых чисел, взятых в данном порядке, причём второе число пары Ь отлично от нуля. Пусть М — множе­ ство всех таких пар. Определяем отношение эквивалентности, сло­ жение и умножение пар так, чтобы им соответствовали равенства, сложения и умножения частных чисел этих пар в искомом поле. Именно, согласно (1) полагаем x 2 (а, й ) ~ ( с , d) (2)