* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 173 искать минимальное из таких расширений в смысле следующего определения: О п р е д е л е н и е I . Полем рациональных чисел называется ми­ нимальное поле Г , содержащее кольцо С целых чисел, т. е. мно­ жество, обладающее свойствами: I ) Г содержит О, 2) Г является полем , 3) сложение и умно­ жение целых чисел совпадают с одноимёнными операциями над этими числами в поле Г; 4) поле Г не содержит отличного от него самого подполя, содержащего С. Элементы поля Г называются рациональными числами. Из этого определения ещё неясно, существует ли такое поле и будет ли оно единственным. Покажем сначала, что поле рациональ­ ных чисел определено однозначно -с точностью до изоморфизма. Т е о р е м а 1. (Ср. § 20, теорема 1.) Поле Г, содержащее кольцо С целых чисел ) , тогда и только тогда будет полем рациональных чисел (т. е. минимальным), когда каждый его элемент равен част­ ному целых чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Если поле Г содержит С и каждый элемент Г равен частному целых чисел, то Г минимально, так как любое подполе, содержащее Г, содержит и все частные целых чисел (§ 8, теорема 5 ) и совпадает с Г . б) Пусть, обратно, поле Г минимально. Во всяком поле частное элементов обладает следующими свойствами (§ 8, теорема 3): 9 ] а) л\ если ЬфО, г , п йфО, .1 , к то ^ ad=bc; о . с ad ± be О) тогда и только тогда, когда б) в) если ЬфО, если ЬфО, йфО, йфО, то то ^ ± ^ = — ^ — ; ^--£=|£; г) если ЬфО, сфО, йфО, то : -£= j£ . Пусть М — множество всех элементов поля Г, каждый из кото­ рых равен частному целых чисел. Из ( I ) следует, что сумма, раз­ ность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля) любых двух элементов множества М снова принадлежат к М, т. е. М — подполе поля Г (§ 8, теорема 5 ) . Любое целое число ab равно, 1 конечно, частному целых чисел, например а = -^-, где Ь — целое число, отличное от нуля. Из совпадения операций в С и Г ) Здесь и ниже подразумевается, что операции над элементами подмпожества совпадают с одноимёнными операциями над теми же элементами в надмножестве.