* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

170 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ жительно, т. е. противоположное ч и с л о — п по аксиоме IX непо­ ложительно. По теореме 1 числа 0 и ± « , где п—любое натураль*' ное число, исчерпывают С. Таким образом в С положительны нату­ ральные числа и только они. Итак, любое расположение С совпа­ дает с расположением, указанным в начале доказательства. З а м е ч а н и е 2. Целые числа обладают всеми свойствами эле­ ментов любого расположенного кольца, приведёнными в § 10. Так, считая а^>Ь, если а — b — положительно, мы вводим порядок, при котором 0 меньше всех положительных и больше всех отрицатель­ ных чисел (§ 10, теорема 1). Для этого порядка верны законы монотонности и правила оперирования с неравенствами (§ 10, тео­ ремы 2—4). Определяя абсолютную величину | а | числа а как неотри­ цательное из чисел ± а (см. § 10, определение 2), получим обычные её свойства и обычные правила сравнения и правила действий над числами через сравнение и действия над их абсолютными величинами (§ 10, теорема 8 и следующее за ней замечание). Т е о р е м а 4. Порядок натуральных чисел (§ 14) совпадает с их порядком в кольце целых чисел. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если а и b — целые числа и а^>Ь, то а — b = k, где k — число положительное, т, е. натуральное, тогда a = b-\~k. Для натуральных а и b это означает, что а^>& в смысле определения из § 14. Так как среди целых чисел нет наименьшего, то теорема 8 из § 1 4 для них уже неверна. Для справедливости утверждений такого рода необходимы дополнительные условия. О п р е д е л е н и е . Множество А целых чисел называется огра­ ниченным сверху (соответственно снизу или просто ограниченным), если существует целое число k такое, что k^>x (соответственно k<^x или существуют два числа k и I такие, что k<^x<^l) для любого числа х из А. Пустое множество ограничено. Т е о р е м а б. Любое непустое и ограниченное сверху (соответ­ ственно снизу или ограниченное) множество целых чисел А со­ держит наибольшее (соответственно наименьшее или как наиболь­ шее, так и наименьшее) число. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А ограничено сверху. Если А со­ держит хотя бы одно натуральное число, то множество натуральных чисел, входящих в А, непусто и содержит наибольшее число а (§ 14, теорема 2). Число а, очевидно, будет наибольшим и в А Если А не содержит натуральных чисел, но оно содержит число 0, то 0 и будет наибольшим в А. Если А содержит лишь отрицатель­ ные числа, то множество В, содержащее числа, противоположные числам из А, состоит из натуральных чисел и содержит наимень­ ший элемент b: Ь^у для любого у из В. Умножая на — 1, найдём (§ 10, теорема 2): — Ь ^ — у или, полагая а=—b и х = —у, аТ^х для любого х из А. Если А ограничено снизу, то определён­ ное выше В ограничено сверху, и по доказанному В содержит паи-