* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 169 второго рода. Эти случаи несовместимы, так как если (ft, I) — пара класса се, то соотношения ft^>/, k = l, k<^l несовместимы (§ 14, теорема 1). Если а — второго рода, то k<^L Тогда противопо­ ложный класс —ос содержит пару (/, ft), где / ^ > f t , т. е. он первого рода- При изоморфизме / свойство элементов быть противополож­ ными друг другу сохраняется, т. е. / ( - « ) = - / ( « ) = — * • Если а первого рода, то a=f(a)— натуральное число по опреде­ лению / ; если о с = 0 , то о = а = 0 ; если а— второго рода, то — а — первого рода и — а — — / ( о ) = / ( — а) — натуральное число. Т е о р е м а 2. Кольцо целых чисел есть область целостности (§ 7, определение 2) с единицей, причём единицей служит нату­ ральное число 1. Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем вместо а писать, если нужно, также -\-а. Покажем, что произведение ab целых чисел лишь тогда равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Пусть а ф 0 и b ф 0. По предыдущей теореме а =± cwb=±d, где cud —натуральные числа. Тогда ab = ±cd, где берём знак-[-при одинаковых знаках a, b и знак — при разных; cdф0, так как произведение натуральных чи­ сел является натуральным числом, следовательно, ab ф 0. Покажем, что а • 1=а для любого а. Если а — натуральное число, то это верно по определению умножения (§ 13). Если а=0, то д - 1 = 0 * 1 = 0 = а. Если а=—Ь где b — натуральное число, то а • 1 = (—Ь) • 1 = — ( & • ! ) = — Ь = а. Тео­ рема доказана. Перейдём к понятиям о положительном и отрицательном числах и сравнению целых чисел* по величине. Т е о р е м а 3. Кольцо целых чисел С может быть расположено (§ 10, определение I) и притом единственным образом. При этом расположении все натуральные числа положительны, а все про­ тивоположные им числа — 1 , — 2 , — 3 , . . . — отрицательны. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если считать натуральные числа и только их за положительные, то кольцо С будет расположено. В самом деле, по теореме 1 для любого числа а либо а положительно, либо а = 0, либо — а положительно, т. е. аксиома IX (§ 10) выполнена. Так как сумма и произведение натуральных чисел-—числа натураль­ ные, то выполнена и аксиома X. Раз натуральные числа положи­ тельны, то по самому определению противоположные им числа отрицательны. Покажем, что данное расположение — единственно возможное. Пусть кольцо С расположено каким угодно образом. По аксиоме IX одно из чисел -|- 1 и — 1 положительно. Тогда по аксиоме X число 1 = 1 • 1 = ( — 1 ) • ( — 1) как произведение поло­ жительных само положительно. Тогда также по аксиоме X и любое натуральное число п как сумма п единиц (§ 15, теорема 2) поло9