* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

168 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ 3) Сложение и умножение натуральных чисел совпадают с од­ ноимёнными операциями для этих чисел в кольце С. Покажем, что любой элемент кольца С равен разности натураль­ ных чисел- Любой элемент С имеет вид / ( а ) , где а — класс кольца С и / — п о с т р о е н н о е выше отображение С на С. Пусть а содержит пару (ft, I), причём ft=/(P), l=f(f). По определению отображения / класс Р состоит из пар вида (b-\-k b) и у — из пар вида ( с - | ~ / , с), следовательно, класс а-|~Т содержит пару (ft, / ) 4 — (с — /» c)=(k-\-c-\-i — | — | 1-\-с) принадлежащую Р, откуда a -f- * = р. у Итак, по определению сложения в кольце С т. е. по ( б ) ) : 0 0 9 9 9 1 1 9 /(«)+/(T)=/(P). т.е. /(a)=/(p)-/( ) = ft-/*). Любое подкольцо С, содержащее натуральные числа, должно содержать все их разности и совпадает с С. Следовательно, 4) Кольцо С не содержит никакого подкольца, содержащего N и отличного от самого С. Итак, одно из изоморфных между собой колец целых чисел нами построено. Его элементами (т. е. целыми числами) являются: во-первых, все натуральные числа, во-вторых, число 0, т. е. класс всех пар нату­ ральных чисел с равными элементами, в-третьих, все классы второго рода, т. е. классы эквивалентных пар (а, Ь) натуральных чисел с условием а<^Ь. Этим решён вопрос о существовании кольца целых чисел. Пока читателю трудно узнать в построенном выше кольце С так хорошо известное ему кольцо целых чисел. В следующем пара­ графе мы рассмотрим простейшие свойства этого кольца и увидим, что оно ничем не отличается от всем известной совокупности це­ лых чисел. Y § 21. Свойства целых чисел З а м е ч а н и е 1. Для целых чисел как для элементов кольца верны все правила оперирования, доказанные в § 7. Так, произ­ ведение нуля на любое число равно нулю [§ 7, (2)], верны обыч­ ные правила знаков при умножении [§ 7, (3)] и т. д. Т е о р е м а 1. Натуральными числами 1, 2, 3, числом О и числами — 1 , —2, —3, . . . , противоположными натуральным, исчерпывается всё кольцо целых чисел С т. е. для любого эле­ мента а&С имеет место один и только один из трёх случаев: а — натуральное число, а = 0, — а — натуральное число. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а = / ( а ) , где а — класс кольца С ) . Выше было доказано, что а либо первого рода, либо 0, либо 9 э 0 *) Заметим, что нельзя применять (5), так как класс а не обязательно первого рода. ) Для класса второго рода и 0, содержащихся в С, доказанное означа­ ет, что класс, содержащий пару (&, /), равен разности k — /. ) Мы применяем, таким образом, для чисел, отличных от натуральных, обозначения как греческими, так и латинскими буквами, считая a = а. я э