* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

166 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ равные элементы; следовательно, а-\~х=Ь-\~у, откуда (х, у) = =(£>, а). Но сама пара (Ь, а) обладает нужным свойством, ибо (a, b) + (b, а ) = ( а + &, * + а) принадлежит классу 0. Назовём пару (Ь, а) противоположной (а, Ь). При замене пары (а, Ь) эквивалентной противоположная пара также заменяется на эквивалентную; любая пара класса — а противо­ положна некоторой паре класса а. Итак, класс —се, противоположный классу а, состоит из пар, противоположных парам класса а. Построенное нами кольцо С является изоморфным кольцу це­ лых чисел. Если строить целые числа лишь с точностью до произ­ вольного изоморфизма, то само С можно считать кольцом целых чисел. Однако, при расширении данной системы чисел до новой мы будем считать эту данную систему определённой вполне однозначно, т. е. из всех её интерпретаций выбираем какую-нибудь одну. При этом условии кольцо С не удовлетворяет определению 1, так как С не содержит натуральных чисел, ибо его элементы — классы эк­ вивалентных пар натуральных чисел. Так как натуральные числа сами ещё не являются элементами кольца С , то для получения из С кольца целых чисел (определе­ ние 1) надо включить в С множество натуральных чисел N. Сначала найдём в кольце С множество, изоморфное множеству натуральных чисел. Любой класс а кольца С , отличный от нуля, состоит из пар (a, b) где афЬ. Назовём класс а классом первого рода, если а^>Ь, и второго рода, если а<^Ь. Это определение не зависит от выбора пары (а, Ь) в классе а, так как если (а, ~ ( с , d), то a-\-d = b-\-c. Поэтому из а > 6 следует (§ 16, тео­ рема 2) d<^c, c^>d, из а<^Ь следует также c<^d. Пусть N и N%—соответственно множества классов первого и второго рода. Покажем, что множество N классов первого рода изоморфно мно­ жеству N натуральных чисел относительно операций сложения и умножения. Построим взаимно однозначное отображение / множе­ ства N на N. Если класс о из N содержит пару (а, Ь), то а^>Ь и, следовательно, существует натуральное число k такое, что а = =b-\~k (§ 14). Мы положим f(a) = k. Число k не зависит от выбора пары класса а, так как из (а, 6 ) ~ ( с , d), т. е. a-\~d = b-\-c при a = b-\-k, следует b~\-k-\-d=b-\-c откуда также c=d-\-k. Раз­ ным классам соответствуют разные числа, так как если а содержит (а, Ь) и р содержит (с, d), причём f(a)—f($)=k то a = b-\-k, c = d-\-k и, складывая крест-накрест, найдём: 0 0 0 0 0 0 0 А 0 f x t t t 9 9 a-\-d-\-k = b-{-k-{-c, a-\-d = b-{-c, (a, b)~(c, d), а = р . Любое число k является образом некоторого класса а, именно содер­ жащего пару (a-\-k. л). Этим доказано, чго отображение / взаимно однозначно (§ 3, определение 3).