* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ 161 Из этого определения еще неясно, существует ли такое кольцо С и будет ли оно единственным. Отложив пока вопрос о существо­ вании кольца целых чисел, покажем, что если оно существует, то будет единственным с точностью до изоморфизма. Т е о р е м а 1. Кольцо С, содержащее множество N натураль­ ных чисел ), тогда и только тогда будет кольцом целых чисел (т. е. минимальным), когда каждый его элемент равен разности натуральных чисел* Д о к а з а т е л ь с т в о . А ) Если кольцо С содержит N и каждый элемент С равен разности натуральных чисел, то С минимально, так как любое подкольцо, содержащее N , содержит и все разности натуральных чисел (§ 7, теорема 4) и, следовательно, совпадает с С. Б) Пусть, обратно, кольцо С минимально. Во всяком кольце разность элементов обладает следующими свойствами (§ 7, теорема 3): 1 а) а — Ъ = с— d . тогда и только тогда, когда a-\~d = b-\~c; б) в) (a-b)-\-(c-d) = (a + c)-(b-{-d); — )-(c-d) = (a + d)-(b + c); (a — b)(c — d) = (ас -\- bd) — (ad -J- be). i a b 0) 0 Пусть R— множество всех элементов С, каждый из которых равен разности натуральных чисел. Из (1) следует, что сумма, раз­ ность и произведение двух элементов множества R снова принад­ лежат R, следовательно, R — подкольцо С. Любое натуральное число равно, конечно, разности натуральных чисел, например а = (а -\- Ь) —Ъ, где b — также натуральное число. Так как операции в N и С совпадают, то R содержит N, и следовательно, R = C в силу ми­ нимальности С. Это значит, что любое целое число равно разности натуральных чисел. Т е о р е м а 2. Все минимальные кольца, содержащие натураль­ ные числа, изоморфны, т. е. кольцо целых чисел единственно с точностью до изоморфизма. Пусть С, и С — два таких кольца. По предыдущей теореме любой элемент в С и С равен разности натуральных чисел. Строим такое отображение / кольца С на С : если с, £ С и с = а— b вС где а и b — натуральные числа, то в С будет: а — Ь = с% ). а х 2 х 2 х х Х9 2 2 ) Здесь и ииже, говоря, что кольцо содержит натуральные числа или что одпо кольцо содержит другое, мы всегда будем подразумевать, что опе­ рации в подмножестве совпадают с соответствующими операциями в над­ множестве. ) Из С| = а — Ъ и c = а — Ъ не следует c = с , так как вычитание в d и С может иметь разный смысл. Конечно, с, = c при а>Ь, так как тогда а — b существует в N и по совпадепию операций с и с равны одному и тому же натуральному числу а — Ъ. я t v й в s % Л 1 11 ЭиЦШШОиеДШ!, КП. 1.