* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

152 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля Доказательство аналогично данному для теоремы 2. Для частных справедливы правила сравнения и оперирования. тогда и только тогда, когда ad = bc; ч а . с Ь — d в) 0 в а Ъ 9 : с с ай±дс £d ас Jd' ~Ъ ' d ~ at ~d~lc' Доказываются они на основе теоремы 3 из § 14 дословно как соответствующие свойства частного в любом поле (§ 7, теорема 8). При этом в пунктах б), в) и г) из существования частных в левой части вытекает их существование в правой части. Далее, из (6) и теоремы 3 § 14 находим: Т е о р е м а 4. Для того чтобы существовало частное у , не­ обходимо (но, как сейчас увидим, недостаточно), чтобы было а^Ь. Если частное существует, то оно единственно. ЧТО из а ^ ft ещё не следует существования частного ^ , зывают простые примеры. Так, определяя числа 2 = 1', 3 = 2', 4 = 3', пока­ убеждаемся, что не существует а, для которого 2а = 3. Из (6) должно быть а < ^ 3 , т. е. или а=\, или а = 2, но 2 - 1 = 2 и 2 - 2 = 4. Это обстоятельство обусловливает коренное различие свойств вычитания и деления и приводит к ряду свойств чисел, составляю­ щих так называемую теорию делимости ). 1 § 17. Замечания о системе аксиом натуральных чисел Отправляясь от системы аксиом I — I V (§ 11), мы построили арифметику натуральных чисел. Вернёмся теперь снова к вопросам аксиоматического обоснования этой теории. При оценке системы аксиом всякой аксиоматической теории при­ ходится решать три основных вопроса (правда, неодинаковой труд­ ности и значения) — это вопросы о непротиворечивости, полноте и независимости аксиом. *) О свойствах делимости см. статью А. Я. Хинчина, в этой книге. помещённую