* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
153
Непротиворечивость. Для приемлемости любой системы аксиом нужно, прежде всего, убедиться, что построенная на её основе тео рия не содержит противоречий, т. е. что с помощью этих аксиом нельзя доказать двух взаимно исключающих друг друга предложений. Как же можно доказать непротиворечивость аксиом данной системы в этом смысле? Разберём этот вопрос на примере плоской геоме трии. При её аксиоматике точки и прямые, а также и основные отношения между ними («точка лежит на прямой», «одна точка прямой лежит между двумя другими» и т. д.) понимаются формально (абстрактно). Эти понятия связаны данной системой аксиом. С дру гой стороны, имеется другая аксиоматическая теория — поле дей ствительных чисел. В аналитической геометрии устанавливается, что точкам плоскости соответствуют пары чисел (координаты точки), а прямым — уравнения (уравнения прямых). Отношениям между точ ками и прямыми соответствуют известные числовые отношения этих пар и уравнений, причём аксиомам геометрии соответствуют пред ложения (теоремы), которые можно доказать на основе аксиом и свойств чисел. Таким образом, одна аксиоматическая теория (геоме трия плоскости) включается как часть в другую (теорию действитель ного числа). Если бы геометрия содержала противоречие в указанном выше смысле, то и для действительных чисел можно было бы найти противоречие (доказать на основе аксиом чисел два взаимно исклю чающих предложения). Если аксиоматика чисел непротиворечива, то то же верно и для аксиоматики геометрии. В этом смысле непро тиворечивость аксиом геометрии доказана. Представление одной аксиоматической теории при помощи понятий другой теории, разобранное нами на примере плоской гео метрии и арифметики, применяется в математике весьма часто и не только для сведён и я непротиворечивости одной теории к непротиво речивости другой. Поэтому мы дадим для него следующее опреде ление: О п р е д е л е н и е 1. Любое множество, для элементов кото рого определены основные отношения и выполнены аксиомы дан ной аксиоматической теории, называется интерпретацией этой теории. Интерпретация данной 'аксиоматической теории не разрешает вопроса о её непротиворечивости, а лишь сводит его к вопросу о непротиворечивости той теории, в которой осуществлена данная интерпретация. Непротиворечивость теории натуральных чисел доказана не фор мально-логическими средствами, а многовековой практикой челове чества, показавшей отсутствие противоречий в этой теории и её соответствие с действительными соотношениями реального мира. Полнота. Далее, возникает вопрос, насколько хорошо описывает система аксиом данную теорию? Можно ли с помощью данной системы аксиом доказать или опровергнуть любое предположение,