* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 153 Непротиворечивость. Для приемлемости любой системы аксиом нужно, прежде всего, убедиться, что построенная на её основе тео­ рия не содержит противоречий, т. е. что с помощью этих аксиом нельзя доказать двух взаимно исключающих друг друга предложений. Как же можно доказать непротиворечивость аксиом данной системы в этом смысле? Разберём этот вопрос на примере плоской геоме­ трии. При её аксиоматике точки и прямые, а также и основные отношения между ними («точка лежит на прямой», «одна точка прямой лежит между двумя другими» и т. д.) понимаются формально (абстрактно). Эти понятия связаны данной системой аксиом. С дру­ гой стороны, имеется другая аксиоматическая теория — поле дей­ ствительных чисел. В аналитической геометрии устанавливается, что точкам плоскости соответствуют пары чисел (координаты точки), а прямым — уравнения (уравнения прямых). Отношениям между точ­ ками и прямыми соответствуют известные числовые отношения этих пар и уравнений, причём аксиомам геометрии соответствуют пред­ ложения (теоремы), которые можно доказать на основе аксиом и свойств чисел. Таким образом, одна аксиоматическая теория (геоме­ трия плоскости) включается как часть в другую (теорию действитель­ ного числа). Если бы геометрия содержала противоречие в указанном выше смысле, то и для действительных чисел можно было бы найти противоречие (доказать на основе аксиом чисел два взаимно исклю­ чающих предложения). Если аксиоматика чисел непротиворечива, то то же верно и для аксиоматики геометрии. В этом смысле непро­ тиворечивость аксиом геометрии доказана. Представление одной аксиоматической теории при помощи понятий другой теории, разобранное нами на примере плоской гео­ метрии и арифметики, применяется в математике весьма часто и не только для сведён и я непротиворечивости одной теории к непротиво­ речивости другой. Поэтому мы дадим для него следующее опреде­ ление: О п р е д е л е н и е 1. Любое множество, для элементов кото­ рого определены основные отношения и выполнены аксиомы дан­ ной аксиоматической теории, называется интерпретацией этой теории. Интерпретация данной 'аксиоматической теории не разрешает вопроса о её непротиворечивости, а лишь сводит его к вопросу о непротиворечивости той теории, в которой осуществлена данная интерпретация. Непротиворечивость теории натуральных чисел доказана не фор­ мально-логическими средствами, а многовековой практикой челове­ чества, показавшей отсутствие противоречий в этой теории и её соответствие с действительными соотношениями реального мира. Полнота. Далее, возникает вопрос, насколько хорошо описывает система аксиом данную теорию? Можно ли с помощью данной системы аксиом доказать или опровергнуть любое предположение,