* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

146 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля обладающей двумя свойствами: 1) известно значение функции для Ь=1 [в случае сложения f(l) = a' в случае у м н о ж е н и я / ( 1 ) = д ] ; 2) дано рекуррентное соотношение, однозначно определяющее зна­ чение функции для любого числа, отличного от 1, через её значе­ ние для предыдущего числа (в случае сложения f(b) = [f(b)]' в случае умножения / ( £ ' ) = / ( £ ) - | - а). По поводу определения сложения мы уже указывали (§ 12), что такое определение ещё не доказывает (простым применением аксиомы индукции IV) существования и единственности функции f(b) с указанными свойствами 1) и 2). Однако существование и един­ ственность были доказаны разными путями как для сложения, так и для умножения. После определения порядка натуральных чисел можно доказать эаконносгь индуктивных определений и притом более общего типа, чем в случае сложения и умножения. А именно: О п р е д е л е н и е 1. Индуктивным определением (или построе­ нием) функции f(a) на множестве натуральных чисел называется её определение по следующим двум свойствам: 1) задано значение функции f(l)=x для числа 1; 2) значение функции f(a) для натурального числа а^>1 одно­ значно выражено через её значения f(b) для натуральных чисел Ь<^а при помощи данной системы S рекуррентных соотношений. Отметим, что значения определяемой индуктивно функции /(а) вовсе не обязательно должны быть натуральными числами. Они мо­ гут быть элементами некоторого кольца или вообще некоторого множества А, причём между его элементами определены отношения, при которых имеют смысл рекуррентные соотношения системы S. Что индуктивное определение действительно определяет (и при­ том однозначно) функцию / ( а ) , показывает следующая: Т е о р е м а 1. ( Т е о р е м а о з а к о н н о с т и индуктивного о п р е д е л е н и я . ) При данной системе S рекуррентных соотно­ шений существует одна и только одна функция / ( а ) , заданная на множестве всех натуральных чисел и обладающая свойствами 1) и 2), указанными в определении 1. Докажем сначала такую лемму: Л е м м а . Пусть даны: а) натуральное число п, б) элемент x некоторого множества А, в) при п^>1 система S рекуррентных соотношений, которая для любого натурального числа а (где 1<^а^п) и любых элементов х (где Ь<^а) множества А одно­ значно определяет элемент х того же множества А'). Тогда существует одна и только одна функция f (a), задан­ ная на отрезке*) 11, п\, значения которой принадлежат множеt r t t t ь а n *) При этом для а>п рекуррентные соотношения могут вообще не задаваться. *) Отрезком натуральпого ряда (согласно определению 1 из § 4) назы­ вается множество |1, п\ натуральных чисел а^п.