* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЙ ЧИСЛА 145 Т е о р е м а 10. Если некоторая * теорема Т доказана для какого-либо натурального числа k и если в предположении, что она верна для числа n^k, она доказана для числа п-\-1, то эта теорема Т верна для любого натурального числа n^k. Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что теорема Т верна не для всех чисел n^k. Тогда множество Л тех чисел n^k, для которых теорема Т неверна, непусто и по теореме 8 содержит наименьшее число £^k, и для / теорема Г неверна. Поэтому/^>А. По теореме 5 1ф\ и потому имеет предшествующее число п (§ 11, теорема 2), т. е. число п, для которого п' = п-\-1=1, причём n^k, ибо если n<^k, то по теореме 7 l=n-\-l^k. Из l=n-\-1 следует п<^1. Поэтому п не принадлежит множе­ ству Л , т. е. для п теорема Г верна. Но тогда она верна и для числа л - | - ~ 1 = / . Полученное противоречие доказывает нашу теорему. Аналогичное видоизменение допускает и вторая форма индуктив­ ного доказательства (т. е. теорема 9), а именно: Т е о р е м а 11. Если некоторая теорема 7\ касающаяся нату­ рального числа, доказана для числа k и в предположении, что она верна для всех чисел а с условием k^a<^n, доказана для числа п, то это теорема Т верна для любого числа n^k. Доказательство аналогично доказательству теоремы 10 и предо­ ставляется читателю. Справедливо ещё следующее положение, дополняющее тео­ рему 8: Т е о р е м а 12. Любое непустое и ограниченное сверху множе­ ство А натуральных чисел содержит наибольшее число (при этом под множеством, ограниченным сверху, понимается множество, все числа которого меньше одного и того же натурального числа k). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть В есть множество натуральных чисел, не меньших чем числа множества Л . Так как А ограни­ чено сверху, то В непусто. По теореме 8 В содержит наи­ меньшее число По определению В имеем Ь^а для любого а из Л . Покажем, что число Ъ принадлежит Л и, следовательно, является наибольшим числом в Л . Если Ь не принадлежит Л, то Ь^>а для любого а из Л. По теореме 7 тогда b — l ^ a для лю­ бого а из Л . Таким образом, число b — 1 принадлежит В и й — 1 < ^ й , что противоречит выбору числа Ь. § 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение нескольких чисел С индуктивными определениями мы уже имели дело при опре­ делении сложения и умножения. В обоих случаях при вйборе определённого значения а дело шло о построении некоторой функции f(b) числа b (значения которой — натуральные числа), 10 Энциклопедия, н и . 1.