* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

144 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Т е о р е м а 5. Единица — наименьшее из натуральных чисел, т. е. а ^ 1 для любого а. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если а Ф 1, то по теореме 2 (§ I I ) а = й' = £ + 1 > 1 . Т е о р е м а 6. Во множестве натуральных чисел выполнена аксиома Архимеда (§ 10, определение 3), т. е. для любых а и Ъ существует с, для которого Ьс^>а. Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно взять с^>а, так как из 6 ^ = 1 ввиду теорем 2 и 4 следует Ьс*^>а» \ —а. Т е о р е м а 7. При установленном порядке натуральных чисел числа а и а -|- 1 являются соседними (§ 5), т. е. не существует числа b такого, что а4-1^>Ь^>а и, значит, из Ь^>а следует b^za-\-l и из £ < ^ а - | - 1 следует bz^a. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если Ь^>а, то b=a-{-k. По теореме 5 A ^ s l . По теореме 2 a-{-k^a-\-l, т. е. Ь^а-{-1. По теореме 1 ' э т и м исключается соотношение a-\-l^>b. Теорема доказана. Очень часто применяется следующая: Т е о р е м а 8. Любое непустое множество А натуральных чисел содержит наименьшее число, т. е. меньшее всех других чисел данного множества. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М — множество тех чисел а, кото­ рые равны или меньше, чем все числа множества А. По теореме 5 1 Принадлежит М. Не все числа принадлежат М, так как если b принадлежит множеству А, то число a = £ - j - l ^ > £ и не принадле­ жит М. Поэтому множество М должно содержать такое число а, для которого число а -|- 1 не принадлежит М (иначе по аксиоме IV М содержало бы все числа). Так как а принадлежит М, то для любого b из А должно быть а^Ь. Число а принадлежит А, так как иначе для любого b из А будет а<^Ь и по теореме 7 а-\-\^Ь, т. е. a-J-1 принадлежит М, что противоречит выбору числа а. На этой теореме основана вторая форма индуктивного доказа­ тельства. Т е о р е м а 9. (Сравнить с теоремой 1 § 11.) Если некоторая теорема Т доказана для числа I и в предположении, что она верна для всех чисел, меньших числа п, где п^>\, доказана для п, то она верна для любого л . Д о к а з а т е л ь с т в о . Если теорема Т верна не для всех чисел, то множество М чисел, для которых она неверна, непусто. По тео­ реме 8 множество М содержит наименьшее число п. Раз п принад­ лежит М, то для п теорема Г неверна и л ^ > 1 . Но п — наимень­ шее число М, стало быть теорема Т верна для всех чисел, мень­ ших л, и должна быть верна для л, что невозможно. После введения порядка для натуральных чисел первая форма индуктивного доказательства, т. е. теорема 1 из § 11, допускает следующие видоизменения: