* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 143 (то, что в § 5 основное отношение обозначалось знаком <*\ значе­ ния не имеет). Д о к а з а т е л ь с т в о . - У т в е р ж д е н и е а) является лишь перефра­ зировкой теоремы 5 из § 12. Утверждение б) доказывается так: если a^>b Ь^>с, то a = b-\-k, Ъ=с-\-1 откуда 9 9 а==* + А = ( с + /)-|-Л=г--|-(/4-Л)» т. е. а^>с. Отношение «больше» совпадает в частном случае соседних чисел с отношением «следует», так как а = а-\-\> т. е. а ' ^ > а . Что касается связи порядка с операциями сложения и умноже­ ния, то для натуральных чисел сохраняют силу многие из теорем, доказанных в § 10 для упорядоченных колец. Так как, однако, натуральные числа, как мы увидим, не образуют кольца, то эти теоремы (если только они опирались на свойства кольца) прихо­ дится доказывать заново. Т е о р е м а 2. ( З а к о н ы м о н о т о н н о с т и сложения и 9 умножения.) Из а) аЩ^Ь следует б) a-{-c^b-\-c t соответственно в) ac^Jbc. b-\-k, c)-\-k, Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть а ^ > 6 . Тогда a = л - f c = (b + k) + c = c + (b + k) = (c + b)-\-k 9 = (b + откуда a-\-c^>b-\-c а также ac=(b-{-k)c=bc-\-kc^>bc. 2) Пусть o = b. Тогда по однозначности сложения и умножения также а-{-с=*Ь-\-с и ас=Ьс. 3) Пусть а<^Ь, тогда Ь^>а и по доказанному в 1) 6-f"C^>a-|-c, bc^>ac откуда a-\-c<^b-\~c ac<^bc. Справедливы утверждения, обратные теореме 2. 9 9 t Теорема 3. Из а-[-сЩ^Ь-\-с или из асЩ.Ьс следует соот¬ ветственно а^Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как посылки и следствия в теореме 2 исчерпывают все возможности и взаимно исключают друг друга, то обратные теоремы также верны (см. доказательство теоремы 3 из § Ю). Из теоремы 2 уже дословным повторением доказательства тео­ ремы 4 из § 10 получаются известные правила оперирования с не­ равенствами: Теорема а-\-сЩ.Ь-\-d 9 4. Из аЩ^Ь, сЩ^ё следует соответственно ас^bd*