* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

142 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Б) Если а принадлежит М, то ab = ba. дыдущую теорему, найдем: a'-b = (a-\-l)b = ab-\-l -b=ba-\-b> закон Тогда, используя пре­ l= ba-]-b=ba'; а' принадлежит М. Т е о р е м а 4. ( Л е в ы й дистрибутивности.) с(а-\-Ь)=са-\-сЬш Доказательство следует из теорем 2 и 3. Т е о р е м а 5. ( З а к о н а с с о ц и а т и в н о с т и (ab)c=a(bc). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть даны а и b\ М—множество тех с, для которых равенство имеет место. A) (ab) - 1 =ab=a(b • 1); 1 принадлежит М. Б) Если с принадлежит М, то (ab)c = a(bc). Тогда, используя теорему 4, найдем: (ab) с = (ab) c + ab = a(bc)-\-ab 1 умножения.) = a (be +Ь) = а (be'); до­ d принадлежит М. Теорема доказана. З а д а ч а . Определив попрежнему 2 = Г, 3 = 2', 4 = 3', казать равенство 2 - 2 = 4, 3 - 2 = 6. § 14. Порядок При определении натуральных чисел (§ 11, определение 1) мы исходили из одного основного отношения «6 следует за а». Уже сам выбор слова «следует» указывает на связь этого основного от­ ношения с понятием порядка, введенным в § 5 для любых множеств. Правда, аксиомы И и I I I показывают, что отношение «следует» для чисел отличается от одноименного отношения порядка. Оно связы­ вает каждый элемент лишь с двумя «соседними», так как по аксиоме I I за каждым числом следует только одно, а по аксиоме 111 каждое число следует не более чем за одним числом. Но можно определить отношение порядка для любых натуральных чисел, совпадающее с уже заданным отношением «следует» между а и а'. Для этого нового отношения мы будем пользоваться словом «больше». О п р е д е л е н и е . Если для данных чисел а и b существует число k такое, что a = b-\-k то говорят, что а больше Ь, b меньше а и пишут: a^>b, Ь<^а. Если а^>Ь или а = Ь, то пишут: а^Ь. Если а<^Ь или а = Ь, то пишут: а^Ь. Т е о р е м а 1. а) Для любых чисел a, b имеет место одно и только одно из трёх соотношений: a = b а^>Ь, £ ] > а . б) Из а^>Ь, 6 > с следует а^>с. Иными словами, множество N нату­ ральных чисел с только что определённым отношением «больше* является, упорядоченным множеством в смысле опреЬеления 1 § 5 t 9