* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 137 ветствие, сопоставляющее с любыми числами а и Ъ число а-\-Ь так, что 1) а-\-1=а' для любого а, 2) а-\-Ь* = (а-\-Ьу для любых а и Ь. Иными словами, сложе­ ние всегда выполнимо и однозначно. Д о к а з а т е л ь с т в о , а) Сначала докажем, что при данном а существует не более чем одно соответствие, сопоставляющее с каж­ дым числом Ь число х и обладающее свойствами: х = а\ х&=(х )' для любого Ь. Пусть у — любое соответствие с теми же свойствами, т. е- у ==а\ уъ'=(у У для любого Ь. Пусть Ж — множество тех чисел Ь, для которых х =у . A ) JC, = а' =уц 1 принадлежит Ж . Б) Если Ь принадлежит Ж, то х =у , значит, по аксиоме I I (х )'=(у У, следовательно, х& =(х у=(у )'=у» т. е. V принад­ лежит Ж . По аксиоме IV Ж содержит все натуральные числа, т. е. х =у для любого Ь. Единственность сложения доказана при дан­ ном а. Но по произвольности а она доказана для любых а и Ь. б) Покажем теперь, что при данном а существует [и согласно а) только одно] соответствий, сопоставляющее с каждым b число fl-J-ft и обладающее свойствами: a-\-l=a', a-\-b'=(а-\-Ь)' для любого Ъ (при данном а ) . Пусть Ж — множество тех чисел а, для которых такое соответствие существует [и по а) только одно]. А) При а = 1 положим для любого Ъ, что a-\-b = b'. Это соот­ ветствие обладает нужными свойствами, так как ь х ь ь х ь ь ь ь ь ь ь ь ь 9 ь ь а + 1 = Г = а\ а + * ' = (*')' = (а + 6 ) \ Значит, 1 принадлежит Ж . Б) Если а принадлежит Ж, то число a-f-b определено и обладает свойствами: а - ( - 1 = а ' , а -\- V — (a -f- b)\ Числу b поставим в соот­ ветствие число a' -\-b=(a-\-b)'. Это соответствие обладает нужными свойствами для а', так как а' + 1 = ( а + 1)' = ( а ' ) \ а' + *' = (а + * ' ) ' = [ ( а + * ) ' ] ' = (<*' + * ) ' . Значит, число а' принадлежит Ж . По аксиоме IV Ж содержит все натуральные числа, т. е. для любого а существует соответствие, сопоставляющее с каждым b число а -\- Ь и обладающее свойствами с+1=а', а + 6' = (а + 6)' для данного а и любого Ь. Но число а является произвольным. Следовательно, доказано существование и единственность соответ­ ствия, сопоставляющего с любыми а и b число a - f - J и обладающее свойствами 1) и 2). Теорема доказана. Т е о р е м а 2. ( З а к о н ассоциативности сложения.) (а + Ь) + с = а + (Ь + с).