* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

136 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ выбрано определенное число а. Тогда условия 1) и 2) определяют число с -"-1 и число а-\-Ъ\ если уже определено число а-\-Ь. Поэтому на основании аксиомы индукции IV можно, казалось бы, считать число а-\-Ь определённым для любого Ь, а так как а выби­ ралось произвольно, то и для любых а и Ь. Так полагали автор аксиоматики натуральных чисел Пеано и его ученики. Такое изло­ жение принято в большинстве математических книг. Однако в этом рассуждении имеется ошибка. В самом деле, каждый раз, применяя аксиому индукции, мы должны вполне точным образом определить то множество М, для которого надо доказать свойства* А) и Б). В доказанной выше теореме 1 (§ 11) множество М состоит из тех натуральных чисел, для которых верна некоторая теорема Т о натуральном числе я . Нам удалось. доказать, что это множество обладает свойствами А) и Б), что и доказывало теорему 7*. Этим снимается то возражение, что при доказательстве теоремы Т для я -|- 1 мы предполагаем её уже доказанной для л, хотя она ещё только доказывается. Мы пока и не пользуемся тем, что теорема Т верна для я, а доказываем лишь предложение в условной форме: «Если теорема Т верна для я , то она верна и для n-\-l» что соответствует условной форме свойства Б). Попробуем теперь выяснить, к какому множеству М надо при­ менить аксиому IV в случае определения сложения? Можно ли сказать, что при выбранном а множество М состоит из тех Ь, для которых число а-\-Ь определено? Нельзя, потому что мы ещё только хотим доказать, что число а-\-Ь определено свойствами 1) и 2). В этом и состоит как раз отличие индуктивного определения от индуктивного доказательства, где множество М чисел, для кото­ рых теорема Т верна, имеет вполне определённый смысл независимо от того, доказана эта теорема Т или нет. Слова «при данном а число а-\-Ь со свойствами 1) и 2) определено» имеют лишь такой точный смысл: «при данном а существует соответствие, сопостав­ ляющее с числом Ь число а-\-Ь и обладающее свойствами 1) и 2)», но это утверждение касается не одного, а сразу всех чисел Ъ и потому его нельзя доказать индукцией по Ь простой ссылкой на свойства 1) и 2). Зато это утверждение касается одного определён-, ного числа а, и можно пытаться доказать его индукцией по а (что и будет сделано ниже). Заметим, что мы утверждаем ошибочность доказательства индукцией по Ъ того, что условия 1) и 2) опреде­ ляют число с -|- Ъ но отнюдь не ошибочность самого этого утверж­ дения. Индуктивные определения законны, что можно доказать, опи­ раясь только на понятие о порядке натуральных чисел (см. § 15). Понятие же порядка будет нами введено (см. § 14) на основе сло­ жения. Таким образом, вопрос о существовании сложения прихо­ дится решать иным путём. t у Т е о р е м а 1. Сложение натуральных чисел существует и притом только одно, т. е. "существует одно и только одно соот*