* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 135 О п р е д е л е н и е 2. Если Ъ следует за а, то говорят, что а предшествует Ь. Согласно аксиоме I число 1 не имеет предшествующего. Но это—единственное число с таким свойством. Т е о р е м а 2. Любое число аф\ имеет предшествующее число и притом только одно. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М — множество, содержащее 1 и все числа, имеющие хотя бы рдно предшествующее число. А) 1 принадлежит М, Б) если а принадлежит М, то и а' также принадлежит М, ибо а' имеет предшествующее число а (предполо­ жение, что а принадлежит М, здесь даже излишне). По аксиоме IV М содержит все числа. Значит, любое число аф\ имеет по край­ ней мере одно предшествующее. Единственность предшествующего числа следует из аксиомы I I I , согласно которой любое число имеет не более одного предшествующего. Т е о р е м а 3. Если числа, следующие за данными числа­ ми, различны, то и данные числа различны, т. е. из а' ф Ь* сле­ дует афЪ. Д о к а з а т е л ь с т в о . По аксиоме I I из а = Ь следует а' = Ь\ Т е о р е м а 4. Если данные числа различны, то и следующие за ними различны, т. е. из афЬ следует а* Ф Ь'. Д о к а з а т е л ь с т в о . По аксиоме I I I из а' = Ь' следует а =-Ь. Т е о р е м а 5. Любое число отлично от следующего за ним числа, т. е. аф а* для любого а. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М — множество чисел, для которых теорема верна. А) По аксиоме I Г Ф 1. Следовательно, 1 принадлежит Ж. Б) Если а принадлежит М, то а' ф а. Значит, по теореме 4 также (а')' ф а , т. е. а' принадлежит Ж . По аксиоме IV Ж содер­ жит все числа, т. е. а ф а* для любого а. 1 § 12. Сложение О п р е д е л е н и е . Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а-\-Ъ, обладающее следующими свойствами: 1) а4-1=а' для любого а, 2) а + + & любых а и Ь. Числа а и b называются слагаемыми, а число а-\-Ь — суммой ). Сразу возникает вопрос, существует ли такое соответствие, и если да, то будет ли оно единственным. Приведённое определение является примером так называемого индуктивного определения. Пусть ля 1 ) Сложение является, таким образом, частным случаем более общего понятия алгебраической операции (см. § 6, определение 1) или ещё более общего понятия функции (см. § 3, определение I). 1