* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

134 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля элементы в с я к о г о множества N, обладающего перечисленными свойствами. Действительно, возможны различные множества, удовлетворяю­ щие определению 1, но все они изоморфны относительно основного отношения <Ь следует за а» (см. определение 1 из § 9) и поэтому обладают совершенно одинаковыми свойствами, касающимися этого отношения, если только эти свойства вытекают из аксиом I — IV. Отложив до конца главы (§ 17) доказательство упомянутого изоморфизма и другие вопросы, касающиеся самой системы аксиом, займёмся теми следствиями, которые из неё проистекают. Поясним, прежде всего, смысл аксиомы индукции. Обычное до­ казательство по индукции состоит в следующем. Пусть надо дока­ зать некоторую теорему, в формулировке которой участвует нату­ ральное число л (как, например, в формуле бинома Ньютона). Тогда доказывают эту теорему, во-первых, для я = 1 ' и , во-вторых, для числа л - | - 1 , предполагая, что она верна для числа л. После этого теорема считается доказанной для любого числа л. То, что теорема действительно доказана для любого л, обычно обосновы­ вается так: теорема верна для 1, а значит, и для 2, раз она верна для 2, значит, верна и для 3; раз для 3, значит, и для 4 и т. д. Н о что значит это «и т. д.»? Можем ли мы, рассуждая так, пере­ брать все натуральные числа? Разумеется, нет, так как этих чисел бесконечно много. Аксиома индукции IV и служит как раз формаль­ ным средством доказательства такого рода теорем сразу для всей бесконечной совокупности натуральных чисел. А именно, верна такая теорема: Т е о р е м а 1. ( Т е о р е м а о з а к о н н о с т и индуктивных д о к а з а т е л ь с т в . ) Если некоторая теорема Т, формулировка которой содержит натуральное число л, доказана для числа 1 и в предположении, что она верна для числа л, доказана для следующего числа л ' ) , то эта теорема верна для любого числа л . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М есть множество тех натураль­ ных чисел, для которых верна рассматриваемая теорема Г. Тогда А) число 1 входит в Ж, так как для 1 теорема Т доказана; Б) пусть число л принадлежит М\ это значит, для числа л тео­ рема Т верна. Но в таком случае теорема Т доказана, т. е. также верна и для следующего числа л', а это значит, что число л ' также принадлежит М. Итак, множество М обладает свойствами А) и Б) аксиомы IV. В силу этой аксиомы оно должно содержать все на­ туральные числа, что означает (по самому определению множества М), что теорема Т верна для любого натурального числа л. Этим тео­ рема 1 доказана. 1 ') Для того чтобы считать л' = я + Ь надо ещё определить сложение латуральных чисел.