* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля 131 Чтобы умножить (разделить) один элемент на другой, надо абсолютную величину первого элемента умножить (разделить) на абсолютную величину второго и поставить знак -f~> знаки данных элементов одинаковы, и знак — , если различны. Для умно­ жения это следует из правила знаков в любом кольце [§ 7, (3)]» ибо ab = ( ± | а | ) • ( ± | * | ) , а для деления (если оно выполнимо) е с л и выводится отсюда так: если ~-=с, то a = bc, | f l | = | * | - | l » c о т " куда | j [ = |elПри умножении на положительный элемент знак сохраняется, а на отрицательный — меняется. Поэтому из а = Ьс следует, что при одинаковых знаках а и Ь частное с положительно, а при раз­ ных знаках отрицательно. Мы видим, таким образом, что обычные правила оперирования с неравенствами и абсолютными величинами верны не только для чисел, но и для элементов любых расположенных колец. Эти пра­ вила являются следствием аксиом I — V I , IX и X. Есть, однако, одно важное свойство чисел, которое уже не пе­ реносится на любые расположенные кольца. Это — выполнение так называемой аксиомы Архимеда, согласно которой, складывая само с собой любое данное положительное число (как бы мало оно ни было) достаточное число раз, мы можем получить число, превосходящее любое (сколь угодно большое) данное число. Поэтому кольца, обладающие аналогичным свойством, нуждаются в особом опреде­ лении. О п р е д е л е н и е 3. Кольцо (в частности, поле) называется архимедовски расположенным, если оно обладает свойством: X I . ( А к с и о м а А р х и м е д а . ) Для любых элементов а и Ь кольца, где Ь^>0 существует натуральное число п такое, что nb^>a. В случае поля достаточно выполнения этого условия лишь для единицы поля е, т. е. свойство X I эквивалентно свойству ХГ. Для любого элемента а поля существует натуральное число п такое, что пе^>а. Действительно, если Ь^>0, то существует натуральное число л, 9 для которого я е ^ > - ^ - , и, умножая на * ^ > 0 , получим: nb^>a. П р и м е р 1. Кольцо целых, поле рациональных и поле действи­ тельных чисел архимедовски расположены (доказательства даны в соответствующих главах). П р и м е р 2. Пусть R есть кольцо многочленов /(х)=ащ + а х + а&* + . м .-fa**" с рациональными коэффициентами (при обычных операциях сложения а*