* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, К0ЛЫ1А и ПОЛЯ 125 впадают с равенствами (2), где сложение и умножение в левых частях означают операции, заданные в кольце /?'. Этим указанное совпадение операций доказано. Значит, /?' — подкольцо У. Если R— подполе S, то по предыдущей теореме R' — также поле, т. е. под­ поле 5. Теорема доказана. § 10. Расположенные кольца и поля До сих пор мы рассматривали либо множества без всяких отно­ шений между элементами (§ 1—4), либо множества с одним отно­ шением порядка (§ 5), либо множества с одной или двумя алгебраи­ ческими операциями (§ 6—9). Однако важнейшую роль в матема­ тике играют числовые множества, где существуют одновременно и отношения порядка и операции. Мы рассмотрим упорядоченные кольца и поля с целесообразной связью порядка и операций. С отношением порядка в кольце связаны понятия положитель­ ности, отрицательности н абсолютной величины элементов (см. § 7, определения 1 и 3). Наличие операций позволяет несколько упростить введение по­ рядка в кольце. Оказывается достаточным задать лишь порядок всех элементов относительно нуля. Далее, для сохранения обычных свойств чисел приходится наложить дополнительные требования на связь порядка с операциями. Именно: О п р е д е л е н и е \. КОЛЬЦО (В частности, поле) R называется расположенным, если Оля его элементов определено свойство быть положительным, удовлетворяющее следующий требованиям: IX. Для любого элемента a iR имеет место одно и только одно из трёх соотношений: а = 0, а положителен, —а положи­ телен. X. Если а и b положительны, то а-\-Ь и ab также положи­ тельны. Если —а положителен, то а называется отрицательным. Т е о р е м а I . Если в расположенном кольце R определить порядок, считая а^>Ь тогда и только тогда, когда элемент а — b положителен, то R будет упорядоченным множеством (в смысле § 5), причём нуль будет меньше всех положительных и больше всех отрицательных элементов. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и b— элементы R. Если а—b = 0 , то а = Ь, если а — b положителен, то а^>Ь, если — ( а — b)=b — а положителен, то Ь^>а. Из свойства IX следует, что имеет место один и только один из этих трёх случаев (§ 5, свойство 1). Далее, если а^>Ь и Ь^>с, то а — b и b — с положительны. По свойству X тогда (а — b)-\-(b — с)=а—с положителен, т. е. а^>с (§ 5, свой­ ство II). Итак, R — упорядоченное множество. Если а положителен, то из а = а — 0 следует а ^ > 0 ; если а отрицателен, то из — а = 0 — а следует 0^>а, а < ^ 0 . ф