* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

124 ПОНЯТИЯ МНОЖЕ^ТЛХ, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля а ' - | - 0 ' = а' в /?' и из а • 1=а в R следует а' - Г = а' в R' дая любого элемента а' из /?\ Большое значение при построении числовых полей будет иметь следующая, почти очевидная: Т е о р е м а 2. Пусть R — подкольцо кольца S и R' — кольцо, изоморфное R и не имеющее общих элементов с S. Тогда для лю­ бого данного изоморфного отображения f кольца R на R' суще­ ствует кольцо S', содержащее в качестве подкольца R* и изоморф­ ное кольцу S, причём существует изоморфное отображение g кольца S на S', созпадающее на R с данным отображением /, т. е. такое, что g(a) = f(a) для любого элемента а из R. Если S— поле, то и S' будет полем. Если R — подполе S, то и R' — под­ поле S . Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть S' — множество, полученное из 5 путём замены элементов R на элементы /?', т. е. S' = (S\R) []R'. Строим такое отображение g множества 5 на 5": если a£S\R, то положим g(a) = a\ если ad R то положим g(a)=f(a), где f(a)— элемент R', соответствующий а при данном изоморфизме / . Так как / — в з а и м н о однозначное отображение R на R\ g — взаимно однозначное отображение на себя и множества 5 и R' не имеют общих элементов (достаточно даже, чтобы S\R и R* не имели общих элементов), то g является взаимно однозначным отображением S на S'. Операции сложения и умножения в S' определим через операции в 5 путём перенесения их в S* с помощью отображения g, т. е. положим g И + g Ф) =g(a + b), g (a) g(b) = g (ab) (1) 1 t для любых элементов а и b из 5. Так как в силу взаимной одно­ значности отображения g для ^любого а! из 5 существует один и только один элемент а из 5 такой, что g(a) = a' то g(a) и g(b) — любые элементы 5', и равенства ( J ) действительно определяют алге­ браические операции в S'. Одновременно равенства (1) показывают, что относительно сло­ жения и умножения S' изоморфно 5 и по предыдущей теореме 5— кольцо. Если 6 —поле, то и S' — поле. Покажем, что операции в S' для элементов R' совпадают с опе­ рациями, заданными в кольце /?'. Так как / — и з о м о р ф н о е отобра­ жение R на R', то справедливы равенства t > / (а)+/ (b) =f(a + b), f (a) f(b)=f (ab) (2) Д1Я любых а и Ь из /?. Но если в ( I ) g(a) и g(b) принадлежат /?', то a, b, а-\-Ь и ab принадлежат R, и по построению отображения g равенства ( I ) со-