* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

116 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ отображение всего кольца R на некоторое его подмножество М, т. е. R~M. Но по теореме 1 из § 4 конечное множество R не равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R=M, т. е. для любого элемента b £ R существует в R элемент q такой, что q-+b, т. е. aq = b что и доказывает V I I . Так как все элементы поля, отличные от нуля, образуют по умножению коммутативную группу, то для любого элемента а ф О степень а определена при любом целом показателе п, причём спра­ ведливы обычные свойства степени [см. § 6, (3) — (5)]. Для частного элементов любого поля верны те же правила опе­ рирования, что и для обыкновенных дробей. В главе V нам пона­ добятся следующие свойства частного: Т е о р е м а 3. ( С в о й с т в а ч а с т н о г о . ) а) Если ЬфО, йф0 t п 9 то у = ~ тогда и только тогда, когда ad = bc; а то у ш_ ^\ * , л » / л б) если ЬфО, йф О, в) если b ф 0, d ф 0, с ad : t be ±-^=—td~' ас ~bd'> ad ~bc' я 9 то у у : г) если b ф О, с ф О, d ф О, то Д о к а з а т е л ь с т в о . Помножая обе части равенства у = ^- на bd, получим: ad=bc. ЬфО bdy=bc, и dфO t Если, обратно, дано равенство ad=bc а с =y t 9 где то, полагая у = д г , получим: bdx=ad, х откуда bdx=bdy. Умножая обе части равенства на Ь~ н d ~ \ получим: х=у, т. е. у = -^-. Этим утверждение а) доказано. Утверждения б) и в) доказы­ ваются аналогично второй части утверждения а). Наконец, для дока­ зательства утверждения г) достаточно убедиться, что а с ad ~b~~d ' be' Но это равенство следует, очевидно, из в) и а). Теорема доказана. Х а р а к т е р и с т и к а п о л я . Существуют ноля, содержащие элементы афО такие, что па = 0 при целом и, отличном от нуля. Так, в поле из двух элементов 0 и е (см. пример 4 в начале этого параграфа) имеем: 2е = е-\-е = 0. Справедливо утверждение: Т е о р е м а 4. Для любого поля Р имеет место один из двух случаев: а) для любого элемента афО и любого целого числа пфО кратное па также отлично от нуля;