* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, кольцл и ПОЛЯ 1 115 1 Далее, для любого ajbO существует обратный элемент а" такой, чго аа' = а~ а = е. При этом единица е и обратный элемента* для данного а определяются однозначно. Если в кольце существует единица, то только одна, ибо, если е и e — единицы, то e = e e« = e . Если для элемента а кольца с единицей существует обратный элемент, то только один, ибо, если Ь и с — обратные элементы для а, то b = bac = c. Но в кольце с единицей может и не быть обратных элементов, как, например, в кольце целых чисел. Существуют также кольца без единицы, как, например, кольцо чётных чисел или кольцо целых чисел, кратных числу п^>1. Если в кольце R существует единица f ^ O и для любого афО существует обратный элемент а , то элементы кольца, отличные от нуля, образуют группу по умножению (§ 6), и значит, кольцо R будет полем. Так как мультипликативная группа поля коммутативна, то умно­ жение обладает обратной операцией — делением. При этом част­ ное ~ однозначно определено для любого а, не равного нулю, и любого Ь. Для ЬфО это следует из свойств мультипликативной группы поля (§ 6), а для Ь=?0 имеем: -^-=0, так как а* 0 = 0. Дополнительное требование афО, входящее в свойство V I I , нару­ шает симметрию свойств сложения и умножения поля. Отбросить это требование и тем самым восстановить указанную симметрию, однако, невозможно. В самом деле, уравнение ах=Ь при а = 0 и i^fcO не имеет решения в поле или даже в кольце, содержащем элементы, отличные от нуля. Действительно, если q — решение ука­ занного уравнения, то aq = 0 • q = 0 = b, что невозможно. Поэтому деление на нуль невозможно, если делимое отлично от нуля. Част­ ное может равняться любому элементу кольца, так как для 1 х х s 1 t q - 1 любого q имеем: 0 - ^ = 0 . Т е о р е м а 1. Поле не имеет делителя нуля (§ 7, определе­ ние 2), яг. е. если ab=0, то либо а = 0, либо 0 = 0. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ab = 0 и афО, то, умножая обе части равенства на а~\ найдём 1 •6 = а~ -0, т. е. Ь=0. Итак, поле является кольцом без делителей нуля. Утверждение, обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако для конечных колец обратная теорема также верна. А именно: Т е о р е м а 2. Всякое конечное кольцо без делителей нуля, со­ держащее более одного элемента, является полем. Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно проверить свойство VII. Пусть афО. Каждому элементу х кольца поставим в соответствие элемент у=ах. Если х фх^, то также у%фу& ибо иначе ах = ах^ и x = д т (§ 7, теорема 2). Значит, х-*у есть взаимно однозначное а* 1 х 1 t а