* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

114 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ VII. ( О б р а т и м о с т ь у м н о ж е н и я . ) Для любых а и b из Р, где афО, уравнение ах=Ь имеет (по крайней мере одно) реше­ ние, т. е. существует элемент д$Р такой, что ад = Ь. V I I I . Р содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля. П р и м е р ы п о л е й . Из примеров 1—10 колец, приведённых в предыдущем параграфе, только 2, 3 и 4, т. е. рациональные, действительные и комплексные числа, являются полями. В примере 5 свойство VII выполнено, так как вообще нет элемента а ф 0, но не выполнено свойство V I I I . В остальных примерах не выполняется свойство V I I . Приведём ещё следующие примеры полей. 1. Множество комплексных чисел а-\-Ы с любыми рациональ­ ными а, Ъ (так называемое поле рациональных комплексных чисел; сравнить с примером 7 из § 7). 2. Множество действительных чисел вида а + b j / 2 с любыми рациональными а и b (сравнить с примером 8 из § 7). 3. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных. 4. Множество из двух элементов, которые мы обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций: 0 + 0 = 1 + 1=0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1-1 = 1. 0 - 0 = 0 - 1 = 1 - 0 = 0, Проверку свойств I — VIII мы предоставляем читателю. Все теоремы из § 7, выведенные для колец, остаются верными, в частности, для полей. Кроме того, из свойства VII вытекают теоремы, аналогичные тем, которые были выведены в § 7 из свойства I I I . Как всякое кольцо, поле является группой относительно опера­ ции сложения. Все элементы поля, не равные нулю, образуют группу относительно операции умножения. В самом деле, если афО и ЬфО, то уравнение ах = Ь имеет решение q Ф 0, ибо а • 0 = 0 ф b (§ 7, теорема 1). Поэтому свойства умножения IV, V (§ 7, опреде­ ление 1) и VII доказывают наше утверждение. Группа по сложению всех элементов поля называется аддитивной, а группа по умноже­ нию всех его элементов, отличных от нут,—мультипликативной группой поля. Поле вполне определяется заданием двух этих групп, заданием произведений нуля на все элементы и требованием дистри­ бутивного закона для любых его элементов, включая нуль. Отсюда уже следует, что произведение любого элемента на нуль равно нулю (§ 7, теорема 1). Из свойств мультипликативной группы (§ 6, теорема 1) следует, что в поле существует единица, т. е. такой элемент е, что ае = еа = а для любого о из А В самом деле, для а ф 0 это следует т свойств единицы группы, а для а = 0 — из свойства нуля при умножении.